Distribuição Geométrica. Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento A com probabilidade p ou não ocorra A, ou seja, ocorre A^c com probabilidade (1-p). Repetimos o experimento de forma independente até que o evento A ocorra pela primeira vez. Seja X= número de repetições até que se obtenha A pela primeira vez. Então a função de probabilidade de X é dada por
P(X=k)=(1-p)^k-1 cdot p, k=1,2,3, ldots,
pois se X=k, nas k-1 repetições A não ocorre, ocorrendo na k-ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória X segue uma distribuição geométrica com parâmetro p e denotamos da seguinte maneira: X sim G(p). Além disso, pode-se mostrar que E(X)=1 / p e Var(X)= (1-p) / p^2. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é p=2 / 3. Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória X que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela 1^a vez, determine:
a) a probabilidade de serem necessários exatamente 3 lançamentos.
b) a probabilidade de serem necessários no máximo 3 lançamentos.
c) a probabilidade da moeda ser lançada pelo menos 2 vezes.
d) quantas vezes deve, no mínimo, ser lançada a moeda para garantir a ocorrência de cara com pelo menos 0,8 de probabilidade.

Passo 1

Beleza, o exercício é sobre Distribuição Geométrica: a gente joga uma moeda viciada (cara com P(X=k)=(1-p)^k-1,p, k=1,2,dots , coroa com ) de forma independente até sair a primeira cara. Definimos = número de lançamentos até a primeira cara. A função de probabilidade é
O que vamos usar:
  • A fórmula do PMF da geométrica.
  • Como somar a probabilidade até certo ponto (CDF).
  • A probabilidade de “ao menos” ou “no máximo” virem lançamentos.
  • Inequações para achar o mínimo em (d).

Passo 2

Antes de meter a mão na massa, recapitulando a teoria:
  1. PMF: P(X<= k)=sumi=1^k(1-p)^i-1p =1-(1-p)^k .
  2. CDF (probabilidade de no máximo P(X>= k)=1-P(X<= k-1)=(1-p)^k-1 ):
  1. Probabilidade de “ao menos ” (= ):
Com isso, é só aplicar para .

Passo 3

(a) “Exatamente 3 lançamentos” quer P(X=3)=(1-p)^3-1p =l(tfrac13r)^2cdottfrac23 =tfrac19cdottfrac23 =tfrac227 .
Usando PMF:

Passo 4

(b) “No máximo 3 lançamentos” é P(X<=3)=1-(1-p)^3 =1-l(tfrac13r)^3 =1-tfrac127 =tfrac2627 .
Pela CDF:

Passo 5

© “Pelo menos 2 vezes” = P(X>=2)=(1-p)^2-1=(1-p)=tfrac13 .
Usando
Intuitivamente, é a chance de falhar no 1º lance (coroa) e aí precisar lançar de novo.

Passo 6

(d) “Quantos lançamentos para ter pelo menos 0,8 de chance de sair cara?”
Queremos 1-(1-p)^n>=0.8 Longrightarrow (1-p)^n<=0.2 . Então:
l(tfrac13r)^n<=0.2 Longrightarrow n>=ln(0.2)ln(1/3)approx1.46
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Como é inteiro, o menor que satisfaz é .

Resposta

a)
b)
c)
d) lançamentos mínimo.

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