Distribuição Geométrica. Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento
com probabilidade
ou não ocorra
, ou seja, ocorre
com probabilidade
. Repetimos o experimento de forma independente até que o evento
ocorra pela primeira vez. Seja
número de repetições até que se obtenha
pela primeira vez. Então a função de probabilidade de
é dada por
pois se
, nas
repetições
não ocorre, ocorrendo na
-ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória
segue uma distribuição geométrica com parâmetro
e denotamos da seguinte maneira:
. Além disso, pode-se mostrar que
e
. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é
. Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória
que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela
vez, determine:
a) a probabilidade de serem necessários exatamente 3 lançamentos.
b) a probabilidade de serem necessários no máximo 3 lançamentos.
c) a probabilidade da moeda ser lançada pelo menos 2 vezes.
d) quantas vezes deve, no mínimo, ser lançada a moeda para garantir a ocorrência de cara com pelo menos 0,8 de probabilidade.
a) a probabilidade de serem necessários exatamente 3 lançamentos.
b) a probabilidade de serem necessários no máximo 3 lançamentos.
c) a probabilidade da moeda ser lançada pelo menos 2 vezes.
d) quantas vezes deve, no mínimo, ser lançada a moeda para garantir a ocorrência de cara com pelo menos 0,8 de probabilidade.
Passo 1
Beleza, o exercício é sobre Distribuição Geométrica: a gente joga uma moeda viciada (cara com
, coroa com
) de forma independente até sair a primeira cara. Definimos
= número de lançamentos até a primeira cara. A função de probabilidade é
O que vamos usar:
- A fórmula do PMF da geométrica.
- Como somar a probabilidade até certo ponto (CDF).
- A probabilidade de “ao menos” ou “no máximo” virem lançamentos.
- Inequações para achar o
mínimo em (d).
Passo 2
Antes de meter a mão na massa, recapitulando a teoria:
- PMF:
. - CDF (probabilidade de no máximo
):
- Probabilidade de “ao menos
” (= ):
Com isso, é só aplicar para
.
Passo 3
(a) “Exatamente 3 lançamentos” quer
.
Usando PMF:
Usando PMF:
Passo 4
(b) “No máximo 3 lançamentos” é
.
Pela CDF:
Pela CDF:
Passo 5
© “Pelo menos 2 vezes” =
.
Usando
Usando
Intuitivamente, é a chance de falhar no 1º lance (coroa) e aí precisar lançar de novo.
Passo 6
(d) “Quantos lançamentos para ter pelo menos 0,8 de chance de sair cara?”
Queremos . Então:
Queremos
Aqui
, logo
Como
é inteiro, o menor que satisfaz é
.
Resposta
a)
b)
c)
d) lançamentos mínimo.
b)
c)
d)