Um curso de treinamento aumenta a produtividade de uma certa população de funcionários em 80 % dos casos. Se dez funcionários quaisquer participam desse curso, encontre:
a) a probabilidade de exatamente sete funcionários aumentarem a produtividade;
b) a probabilidade de não mais do que oito funcionários aumentarem a produtividade;
c) a probabilidade de pelo menos três funcionários não aumentarem a produtividade;
d) o número médio de funcionários que aumentaram a produtividade dentre os 10 que participaram do curso de treinamento.

Passo 1

Beleza, o que o exercício tá dizendo é: num curso, cada funcionário tem 80% de chance de aumentar a produtividade (sucesso) e 20% de chance de não aumentar (falha). A gente pega 10 funcionários independentes e define a variável aleatória P(X=k) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^,n-k = número de quem aumentou a produtividade.
Conteúdo: Distribuição Binomial.
O que vamos precisar:
  • Fórmula da probabilidade de exatamente sucessos em ensaios independentes com probabilidade de sucesso:
  • Como somar essas probabilidades para “não mais do que” (CDF) ou “pelo menos” (complemento).
  • Fórmula da média de uma binomial: .
A partir do próximo passo a gente resolve cada item.

Passo 2

Item a) Queremos P(X=7) = binom107,(0.8)^7,(0.2)^3 .
Aplicando a fórmula:
P(X=7) =120 times 0.8^7 times 0.2^3 approx 120 times 0.2097 times 0.008 approx 0.2013
Calculemos:
.
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Passo 3

Item b) Queremos a probabilidade de “não mais do que 8” aumentos, ou seja P(X<=8) =1 - P(X=9) - P(X=10) .
O jeito mais fácil é usar complemento de P(X=9) =binom109,0.8^9,0.2^1 =10 times 0.8^9 times 0.2 approx 10 times 0.1342 times 0.2 approx 0.2684 e P(X=10) =binom1010,0.8^10,0.2^0 =1 times 0.8^10 approx 0.1074 :
P(X<=8) =1 - 0.2684 - 0.1074 approx 0.6242
Vamos achar cada um:
Então

Passo 4

Item c) “Pelo menos 3 não aumentarem”.
Sejam falhas a quantidade que não aumentou, P(Y>=3) = P(X<=7) = sumk=0^7 binom10k 0.8^k 0.2^10-k . “Pelo menos 3 falhas” é P(X<=7) =1 - [P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)] . Em termos de P(X=8) =binom108,0.8^8,0.2^2 =45 times 0.8^8 times 0.04 approx 45 times 0.1678 times 0.04 approx 0.3019 , isso é P(X<=7) =1 - (0.3019 + 0.2684 + 0.1074) approx 1 - 0.6777 approx 0.3223 .
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Também podemos usar complemento de :
Já temos e . Falta :
Então

Passo 5

Item d) A média (esperança) de uma binomial é
E[X] = n,p = 10 times 0.8 = 8

Resposta

a)
b)
c)
d)

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