Um curso de treinamento aumenta a produtividade de uma certa população de funcionários em
dos casos. Se dez funcionários quaisquer participam desse curso, encontre:
a) a probabilidade de exatamente sete funcionários aumentarem a produtividade;
b) a probabilidade de não mais do que oito funcionários aumentarem a produtividade;
c) a probabilidade de pelo menos três funcionários não aumentarem a produtividade;
d) o número médio de funcionários que aumentaram a produtividade dentre os 10 que participaram do curso de treinamento.
a) a probabilidade de exatamente sete funcionários aumentarem a produtividade;
b) a probabilidade de não mais do que oito funcionários aumentarem a produtividade;
c) a probabilidade de pelo menos três funcionários não aumentarem a produtividade;
d) o número médio de funcionários que aumentaram a produtividade dentre os 10 que participaram do curso de treinamento.
Passo 1
Beleza, o que o exercício tá dizendo é: num curso, cada funcionário tem 80% de chance de aumentar a produtividade (sucesso) e 20% de chance de não aumentar (falha). A gente pega 10 funcionários independentes e define a variável aleatória
= número de quem aumentou a produtividade.
Conteúdo: Distribuição Binomial.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Distribuição Binomial.
O que vamos precisar:
- Fórmula da probabilidade de exatamente
sucessos em ensaios independentes com probabilidade de sucesso: - Como somar essas probabilidades para “não mais do que” (CDF) ou “pelo menos” (complemento).
- Fórmula da média de uma binomial:
.
A partir do próximo passo a gente resolve cada item.
Passo 2
Item a) Queremos
.
Aplicando a fórmula:
Aplicando a fórmula:
Calculemos:
.
Logo
Logo
Passo 3
Item b) Queremos a probabilidade de “não mais do que 8” aumentos, ou seja
.
O jeito mais fácil é usar complemento de e
:
O jeito mais fácil é usar complemento de
Vamos achar cada um:
Então
Passo 4
Item c) “Pelo menos 3 não aumentarem”.
Sejam falhas a quantidade que não aumentou, . “Pelo menos 3 falhas” é
. Em termos de
, isso é
⇒
.
Logo
Sejam falhas a quantidade que não aumentou,
Logo
Também podemos usar complemento de
:
Já temos
e
. Falta
:
Então
Passo 5
Item d) A média (esperança) de uma binomial é
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)