Suponha que o custo de realização de um ensaio de um experimento seja R$1000,00. Se o experimento falhar, ocorrerá um custo adicional de
em virtude de serem necessárias algumas alterações antes que a próxima tentativa seja executada. Se a probabilidade de sucesso em uma tentativa qualquer é de
; se os ensaios forem independentes e se o experimento prossegue até que o primeiro sucesso seja alcançado, determine:
a) a probabilidade do custo ser exatamente
;
b) a probabilidade do custo ser no máximo
;
c) a probabilidade do custo ser maior do que
;
d) o custo esperado para realização do experimento.
a) a probabilidade do custo ser exatamente
b) a probabilidade do custo ser no máximo
c) a probabilidade do custo ser maior do que
d) o custo esperado para realização do experimento.
Passo 1
Resumo do enunciado: a cada tentativa do experimento você gasta R$ 1000; se falhar, vem um custo extra de R$ 300 e você tenta de novo até obter sucesso. A probabilidade de sucesso em cada ensaio é p = 0,2, e as tentativas são independentes.
Conteúdo da matéria: distribuição geométrica (número de tentativas até o primeiro sucesso) e valor esperado.
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: distribuição geométrica (número de tentativas até o primeiro sucesso) e valor esperado.
O que vamos precisar:
- Modelar N = número de tentativas até o 1º sucesso (N ∼ Geom§).
- Expressar o custo total C em função de N.
- Usar fórmulas de probabilidade da geométrica e esperança para responder (a), (b), © e (d).
Passo 2
Definição da distribuição geométrica:
Se N é o número de tentativas até o primeiro sucesso com probabilidade p em cada tentativa, então
Se N é o número de tentativas até o primeiro sucesso com probabilidade p em cada tentativa, então
No nosso caso p=0,2 e 1–p=0,8.
Passo 3
Expressão do custo C em função de N:
– Cada tentativa custa R$ 1000, e há N tentativas.
– Em cada uma das N–1 falhas ocorre mais R$ 300.
Portanto
– Cada tentativa custa R$ 1000, e há N tentativas.
– Em cada uma das N–1 falhas ocorre mais R$ 300.
Portanto
Passo 4
(a) Probabilidade de
.
Primeiro achamos N tal que :
Primeiro achamos N tal que
Logo
Passo 5
(b) Probabilidade de
.
A condição dá
.
Então
A condição
Então
Passo 6
© Probabilidade de
.
A condição dá
, ou
, isto é
.
A condição
Passo 7
(d) Custo esperado
.
Usamos e
.
Usamos
Resposta
a)
b)
c)
d) R$ 6200,00
b)
c)
d) R$ 6200,00