Suponha que o custo de realização de um ensaio de um experimento seja R$1000,00. Se o experimento falhar, ocorrerá um custo adicional de 1000,00 Se o experimento falhar, ocorrerá um custo adicional de em virtude de serem necessárias algumas alterações antes que a próxima tentativa seja executada. Se a probabilidade de sucesso em uma tentativa qualquer é de 300,00; se os ensaios forem independentes e se o experimento prossegue até que o primeiro sucesso seja alcançado, determine:
a) a probabilidade do custo ser exatamente 20 %;
b) a probabilidade do custo ser no máximo R ;
c) a probabilidade do custo ser maior do que ; b) a probabilidade do custo ser no máximo ;
d) o custo esperado para realização do experimento.

Passo 1

Resumo do enunciado: a cada tentativa do experimento você gasta R$ 1000; se falhar, vem um custo extra de R$ 300 e você tenta de novo até obter sucesso. A probabilidade de sucesso em cada ensaio é p = 0,2, e as tentativas são independentes.
Conteúdo da matéria: distribuição geométrica (número de tentativas até o primeiro sucesso) e valor esperado.
O que vamos precisar:
  1. Modelar N = número de tentativas até o 1º sucesso (N ∼ Geom§).
  2. Expressar o custo total C em função de N.
  3. Usar fórmulas de probabilidade da geométrica e esperança para responder (a), (b), © e (d).

Passo 2

Definição da distribuição geométrica:
Se N é o número de tentativas até o primeiro sucesso com probabilidade p em cada tentativa, então
P(N=n) = (1-p)^,n-1,p,, n=1,2,3,dots
No nosso caso p=0,2 e 1–p=0,8.

Passo 3

Expressão do custo C em função de N:
– Cada tentativa custa R$ 1000, e há N tentativas.
– Em cada uma das N–1 falhas ocorre mais R$ 300.
Portanto
1000, e há N tentativas Em cada uma das N1 falhas ocorre mais R

Passo 4

(a) Probabilidade de 1300N =3900 ;Longrightarrow; N = 3 .
Primeiro achamos N tal que P(C=3600) = P(N=3) = (1-p)^2,p =0.8^2cdot0.2 =0.128 :
Logo

Passo 5

(b) Probabilidade de P(C<=3600) = P(N<=3) = sumn=1^3 (0.8)^,n-1,0.2 =1 - (1-p)^3 =1 - 0.8^3 =1 - 0.512 =0.488 .
A condição .
Então

Passo 6

© Probabilidade de P(C>2300) = P(N>=3) = (1-p)^,2 =0.8^2 =0.64 .
A condição , ou , isto é .

Passo 7

(d) Custo esperado E[C] = 1300,E[N] -300 =1300cdot5 -300 =6500 -300 =6200 .
Usamos e .

Resposta

a)
b)
c)
d) R$ 6200,00

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