A distribuição hidrostática de pressões num certo fluido é dada por p=p_{0} \frac{\left(1+e^{-z / L}\right)}{2}. Se a aceleração da gravidade for constante, obtenha a distribuição de densidades para este fluido. São dados p_{0}, L e g (módulo da aceleração da gravidade).

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de pressão hidrostática
p(z)=p_{0}\,\frac{1+e^{-z/L}}{2}
em um fluido sob gravidade constante g. Precisamos usar a equação de equilíbrio hidrostático, que relaciona o gradiente de pressão com a densidade:
\frac{dp}{dz}=-\rho(z)\,g.

Passo 2

Calculemos a derivada de p(z) em relação a z. Como
p(z)=\frac{p_{0}}{2}\bigl(1+e^{-z/L}\bigr),
temos
\frac{dp}{dz}=\frac{p_{0}}{2}\cdot\frac{d}{dz}\bigl(e^{-z/L}\bigr) =\frac{p_{0}}{2}\bigl(-\tfrac{1}{L}e^{-z/L}\bigr) =-\frac{p_{0}}{2L}\,e^{-z/L}.

Passo 3

Agora aplicamos a equação de equilíbrio hidrostático
\frac{dp}{dz}=-\rho(z)\,g
e isolamos \rho(z):
-\frac{p_{0}}{2L}\,e^{-z/L}=-\rho(z)\,g \quad\Longrightarrow\quad \rho(z)=\frac{p_{0}}{2L\,g}\,e^{-z/L}.

Resposta

A distribuição de densidade para este fluido é
\rho(z)=\frac{p_{0}}{2\,g\,L}\,e^{-z/L}.

Exercícios relacionados