Um gás ideal, cuja constante vale R, tem a seguinte distribuição de temperaturas (absoluta)
T=\frac{\alpha}{1+z^{2}}
onde \alpha é uma constante positiva conhecida.
Obtenha a distribuição de pressões neste gás supondo que, na origem, a pressão vale p_{0} e sabendo que \mathbf{g}=-g \mathbf{k}.

Passo 1

O enunciado dá um gás ideal, constante dos gases R, com temperatura absoluta variável segundo
T(z)=\frac{\alpha}{1+z^{2}},
onde \alpha>0 é conhecida, e pede a pressão p(z) sob gravidade \mathbf{g}=-g\,\mathbf{k}, sabendo que p(0)=p_{0}.
O conteúdo que vamos usar é o equilíbrio hidrostático em fluido compressível e a lei dos gases ideais.

Passo 2

No equilíbrio hidrostático vertical, a variação da pressão satisfaz
\frac{dp}{dz}=-\rho\,g,
onde \rho(z) é a densidade local do gás.

Passo 3

Pela lei dos gases ideais temos
p=\rho\,R\,T \quad\Longrightarrow\quad \rho=\frac{p}{R\,T}.

Passo 4

Substituindo \rho em \frac{dp}{dz}=-\rho\,g obtemos
\frac{dp}{dz}=-\frac{p}{R\,T(z)}\,g \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{p}\,\frac{dp}{dz}=-\frac{g}{R\,T(z)}.

Passo 5

Como T(z)=\dfrac{\alpha}{1+z^{2}}, temos
\frac{1}{p}\,\frac{dp}{dz} =-\frac{g}{R}\,\frac{1+z^{2}}{\alpha} =-\frac{g}{R\,\alpha}\,(1+z^{2}).

Passo 6

Separamos variáveis e integramos de z=0 (onde p=p_{0}) até z:
\int_{p_{0}}^{p(z)}\frac{1}{p}\,dp =-\frac{g}{R\,\alpha}\int_{0}^{z}(1+u^{2})\,du.
O lado esquerdo dá \ln\bigl(p(z)/p_{0}\bigr) e o direito
\int_{0}^{z}(1+u^{2})\,du =\Bigl[u+\tfrac{u^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{z} =z+\frac{z^{3}}{3}.

Passo 7

Logo
\ln\frac{p(z)}{p_{0}} =-\frac{g}{R\,\alpha}\Bigl(z+\frac{z^{3}}{3}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad p(z)=p_{0}\,\exp\!\Bigl[-\frac{g}{R\,\alpha}\Bigl(z+\frac{z^{3}}{3}\Bigr)\Bigr].

Resposta

p(z)=p_{0}\,\exp\!\biggl[-\frac{g}{R\,\alpha}\Bigl(z+\tfrac{z^{3}}{3}\Bigr)\biggr].

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