O cubo 0<x<L, \quad 0<y<L, \quad 0<z<L está mergulhado num líquido com densidade constante \rho. Calcule o momento da força exercida por este líquido sobre a face y=L com relação à origem, supondo que a aceleração da gravidade seja \mathbf{g}=-g \mathbf{k} e que a pressão na origem seja p_{0}.

Passo 1

O enunciado pede o momento da força hidrostática sobre a face y=L de um cubo de aresta L, mergulhado num líquido de densidade \rho. A pressão na face varia com a profundidade z segundo a lei da hidrostática, e a força diferencial é dada por d\mathbf{F}=-p\,\mathbf{n}\,dA. Vamos usar
  1. a expressão da pressão p(z)=p_{0}+\rho g\,z,
  2. o cálculo de torque \mathbf{M}=\iint \mathbf{r}\times d\mathbf{F},
  3. integração em x\in[0,L], z\in[0,L].

Passo 2

Em cada ponto da face y=L de coordenadas (x,L,z), a pressão é
p(z)=p_{0}+\rho g\,z.

Passo 3

O elemento de área é dA=dx\,dz e a normal exterior da face y=L é \mathbf{n}=\mathbf{j}. Logo, o elemento de força é
d\mathbf{F}=-p(z)\,\mathbf{j}\,dx\,dz.

Passo 4

O momento diferencial em relação à origem é
d\mathbf{M}=\mathbf{r}\times d\mathbf{F},
com \mathbf{r}=x\,\mathbf{i}+L\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}. Usando \mathbf{r}\times\mathbf{j}=x\,\mathbf{k}-z\,\mathbf{i}, segue
d\mathbf{M}=-p(z)\bigl(x\,\mathbf{k}-z\,\mathbf{i}\bigr)\,dx\,dz =p(z)\,z\,\mathbf{i}\,dx\,dz \;-\;p(z)\,x\,\mathbf{k}\,dx\,dz.

Passo 5

Integramos sobre x e z. Para a componente \mathbf{i}:
M_{x} =\int_{0}^{L}\!\!\int_{0}^{L}p(z)\,z\,dx\,dz =L\int_{0}^{L}\bigl(p_{0}z+\rho g\,z^{2}\bigr)dz =p_{0}\frac{L^{3}}{2}+\rho g\frac{L^{4}}{3}.
Para a componente -\mathbf{k}:
M_{z} =-\int_{0}^{L}\!\!\int_{0}^{L}p(z)\,x\,dx\,dz =-\int_{0}^{L}\Bigl(p_{0}\frac{L^{2}}{2}+\rho g\,z\frac{L^{2}}{2}\Bigr)dz =-\Bigl(p_{0}\frac{L^{3}}{2}+\rho g\frac{L^{4}}{4}\Bigr).

Resposta

\mathbf{M} =\Bigl(\tfrac{p_{0}L^{3}}{2}+\tfrac{\rho g\,L^{4}}{3}\Bigr)\mathbf{i} -\Bigl(\tfrac{p_{0}L^{3}}{2}+\tfrac{\rho g\,L^{4}}{4}\Bigr)\mathbf{k}.

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