2-) Uma distribuição linear de cargas em forma de circunferência de raio R tem uma densidade linear \lambda=k \operatorname{sen} \theta, onde k é constante e \theta é o ângulo central variável de 0 a 2 \pi. Determine o campo e o potencial eletrostáticos em um ponto genérico do eixo da circunferência. O meio é o vácuo.

Passo 1

O enunciado descreve uma circunferência de raio R no plano xy com densidade linear de carga
\lambda(\theta)=k\,\sin\theta,
sendo \theta o ângulo central variando de 0 a 2\pi. Precisamos usar as expressões da eletrostática no vácuo para o potencial
V(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\mathrm{d}q}{r}
e para o campo elétrico
E_z(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{z\,\mathrm{d}q}{r^3}
no ponto genérico do eixo da circunferência (ponto (0,0,z)).

Passo 2

Em cada elemento de ângulo \theta temos um elemento de carga
\mathrm{d}q=\lambda(\theta)\,R\,\mathrm{d}\theta =k\,\sin\theta\,R\,\mathrm{d}\theta,
e a distância do elemento até o ponto (0,0,z) é r=\sqrt{R^2+z^2},
que é constante em \theta.

Passo 3

Substituindo em V(z):
V(z) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{0}^{2\pi}\frac{k\,\sin\theta\,R\,\mathrm{d}\theta}{\sqrt{R^2+z^2}} =\frac{k\,R}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2+z^2}}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta.
Como
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta=0,
segue que
V(z)=0\quad\forall\,z.

Passo 4

Para o campo ao longo do eixo z podemos usar
E_z(z) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{0}^{2\pi}\frac{z\,\mathrm{d}q}{(R^2+z^2)^{3/2}} =\frac{z\,k\,R}{4\pi\varepsilon_0\,(R^2+z^2)^{3/2}}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta =0.
E os componentes transversos E_x,E_y também se anulam por simetria angular da distribuição.

Resposta

O potencial é
V(z)=0
e o campo elétrico em qualquer ponto do eixo da circunferência é
\mathbf{E}(z)=\mathbf{0}.

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