😎 Quando uma nuvem passa por uma certa região da Terra, é medido um campo elétrico vertical de intensidade \mathrm{E}=100 \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Sabe-se que a parte mais baixa da nuvem é eletricamente neutra mas possui cargas +q no topo e -q na parte de baixo. Utiliza o método das imagens para estimar a magnitude da carga q e a força F que a nuvem sente, supondo que nenhuma outra carga exista na atmosfera, além da situada no nuvem.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a carga \,q, localizada na base da nuvem, sabendo que ali se mede um campo elétrico vertical de intensidade \,E=100,V/m, e em seguida calcular a força \,F, que essa carga sente devido ao solo. Vamos usar o método das imagens, modelando o solo como um plano condutor perfeito e a carga da nuvem como um ponto -q a uma altura h acima do solo.

Passo 2

No método das imagens, uma carga -q a z=+h acima de um plano condutor equivale, para z>0, a ter uma carga imagem +q a z=-h. O campo no solo z=0 é a soma dos campos dessas duas cargas. A componente vertical do campo de cada carga, no ponto do solo abaixo delas, vale
E_{\text{cada}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{h^2},
e ambas contribuem com o mesmo sinal, de modo que
E \;=\; 2\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{h^2} \;=\;\frac{q}{2\pi\varepsilon_0\,h^2}.

Passo 3

Isolando \,q, na expressão de \,E, no solo, obtemos
q \;=\; 2\pi\,\varepsilon_0\,E\,h^2.

Passo 4

A força de atração entre a carga real -q e sua imagem +q separadas por 2h é
F \;=\;\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q\cdot q}{(2h)^2} \;=\;\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0\,h^2}.

Passo 5

Se quisermos eliminar q em favor de E, basta substituir q=2\pi\varepsilon_0Eh^2 em F:
F \;=\;\frac{(2\pi\varepsilon_0 E h^2)^2}{16\pi\varepsilon_0\,h^2} \;=\;\frac{\pi\,\varepsilon_0\,E^2\,h^2}{4}.

Resposta

q = 2\pi\,\varepsilon_0\,E\,h^2 F = \dfrac{q^2}{16\pi\,\varepsilon_0\,h^2} \;=\;\dfrac{\pi\,\varepsilon_0\,E^2\,h^2}{4}

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