4-) Integre a Equação de Laplace em coordenadas esféricas e obtenha o potencial na região entre duas esferas condutoras concentricas. A esfera interna está aterrada (
), e a externa é mantida com um potencial
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Laplace
na região
entre duas esferas condutoras concêntricas de raios
(interno) e
(externo), com condições de contorno
Devido à simetria esférica,
depende apenas de
, ou seja,
, e usaremos a forma radial da equação em coordenadas esféricas.
Passo 2
Para funções radiais, a equação de Laplace em coordenadas esféricas é
Integrando em
uma vez, obtemos
onde
é uma constante de integração.
Passo 3
Isolando
e integrando de novo:
em que
é outra constante de integração.
Passo 4
Aplicamos as condições de contorno para determinar
e
:
Em
,
implica
Em
,
implica
Logo
Passo 5
Substituindo
e
em
, vem
Uma forma alternativa, equivalente, é