4-) Integre a Equação de Laplace em coordenadas esféricas e obtenha o potencial na região entre duas esferas condutoras concentricas. A esfera interna está aterrada ( \mathrm{V}=0 ), e a externa é mantida com um potencial V_{0}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Laplace
\nabla^2V(r,\theta,\varphi)=0
na região a\le r\le b entre duas esferas condutoras concêntricas de raios r=a (interno) e r=b (externo), com condições de contorno
V(a)=0 \quad\text{e}\quad V(b)=V_{0}.
Devido à simetria esférica, V depende apenas de r, ou seja, V=V(r), e usaremos a forma radial da equação em coordenadas esféricas.

Passo 2

Para funções radiais, a equação de Laplace em coordenadas esféricas é
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r^{2}\frac{dV}{dr}\Bigr)=0.
Integrando em r uma vez, obtemos
\frac{d}{dr}\!\Bigl(r^{2}\frac{dV}{dr}\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}\frac{dV}{dr}=A,
onde A é uma constante de integração.

Passo 3

Isolando \tfrac{dV}{dr} e integrando de novo:
\frac{dV}{dr}=\frac{A}{r^{2}} \quad\Longrightarrow\quad V(r)=-\frac{A}{r}+B,
em que B é outra constante de integração.

Passo 4

Aplicamos as condições de contorno para determinar A e B:
Em r=a, V(a)=0 implica
0=-\frac{A}{a}+B \quad\Longrightarrow\quad B=\frac{A}{a}.
Em r=b, V(b)=V_{0} implica
V_{0}=-\frac{A}{b}+B =-\frac{A}{b}+\frac{A}{a} =A\Bigl(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\Bigr).
Logo
A=\frac{V_{0}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}} =\frac{V_{0}\,a\,b}{\,b-a\,}, \qquad B=\frac{A}{a} =\frac{V_{0}\,b}{\,b-a\,}.

Passo 5

Substituindo A e B em V(r)=-\frac{A}{r}+B, vem
V(r)=-\frac{1}{r}\,\frac{V_{0}ab}{b-a} +\frac{V_{0}b}{b-a} =\frac{V_{0}}{b-a}\Bigl(b-\frac{ab}{r}\Bigr) =\frac{V_{0}b}{b-a}\Bigl(1-\frac{a}{r}\Bigr).
Uma forma alternativa, equivalente, é
V(r) =V_{0}\, \frac{1-\tfrac{a}{r}}{1-\tfrac{a}{b}}.

Resposta

V(r)=\frac{V_{0}\,b}{b-a}\Bigl(1-\frac{a}{r}\Bigr), \quad a\le r\le b.

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