Uma distribuição linear e infinita de carga, rhoL=2 nC / m, está situada no vácuo ao longo do eixo x , enquanto que duas cargas pontuais iguais a 8 nC estão em (0,0,1) e (0,0,-1). (a) Determine E em (2,3,-4). (b) Qual deveria ser o valor de rhoL a fim de que E fosse nulo no ponto (0,0,3) ?

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que temos:
• Uma linha infinita de carga ao longo do eixo x com densidade linear Erm linha=rhoL2pivarepsilon0,r(radial ao eixo (x)) .
• Duas cargas pontuais iguais de vec Eq = k,qr^2,hat r, k=14pivarepsilon0 em e em .
Precisamos usar:
– Campo elétrico de linha infinita:
– Campo elétrico de uma carga pontual :
Em (a) vamos achar em . Em (b) achamos para .

Passo 2

Teoria do campo da linha infinita:
– A distância perpendicular ao eixo x de um ponto Erm linha =rhoL2pivarepsilon0,r é r=raiz3^2+(-4)^2=5, .
– O módulo do campo é
Erm linha =2times10^-92pi,(8,85times10^-12)times5 approx7,19;V/m
e o vetor aponta radialmente para fora do eixo.
No nosso ponto vec Erm linha =7,19;(0,3,-4)5 =(0,;4,314,;-5,752);V/m temos
logo
A direção é , então

Passo 3

Teoria do campo de carga pontual:
E1 =8,99times10^9cdot8times10^-9(6,164)^2 =0,3072;V/m, , com vec E1 =0,3072,(2,3,-5) =(0,6144,;0,9216,;-1,536);V/m .
Em E2 =8,99times10^9cdot8times10^-9(4,690)^2 =0,6965;V/m, :
– Para vec E2 =0,6965,(2,3,-3) =(1,393,;2,0895,;-2,0895);V/m em :
, .
, logo
– Para em :
, .
, então

Passo 4

Agora somamos tudo em vec Erm total =vec Erm linha+vec E1+vec E2 =(0,4,314,-5,752)+(0,6144,0,9216,-1,536)+(1,393,2,0895,-2,0895) :
vec Erm total approx(2,007,;7,325,;-9,378);V/m
Fazendo conta componente a componente:

Passo 5

Para vec Eq1 =k8times10^-92^2,(0,0,1) =17,98,(0,0,1), vec Eq2 =k8times10^-94^2,(0,0,1) =4,495,(0,0,1) :
– Distância ao eixo é rhoL2pivarepsilon0,3=-22,475 ;;Longrightarrow;; rhoL=-22,475cdot2picdot3cdotvarepsilon0 approx-3,75times10^-9,C/m , então
.
– Soma dos pontos em :
Soma: .
Queremos , então

Resposta

(a)
(b)

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