(a) Escreva a configuração eletrônica do átomo de H. (b) Escreva a funcão de onda completa para o estado fundamental do H. © Se o H é excitado para
, escreva agora a função de onda completa para esse estado. (d) Se fazemos uma medida experimental, quais seriam as possibilidades para o estado excitado do átomo de H. (e) Repeta todos os itens anteriores, agora para un gás de átomos de
H. (f) Considere um único átomo de H no estado fundamental, qual é a energia do elétron na presença de um campo magnético
. Nesta situação poderiamos observar experimentalmente o desdobramento Zeeman? Explique. (g) Que acontece para um gás de H , nas condições explicitadas em (f).
H. (f) Considere um único átomo de H no estado fundamental, qual é a energia do elétron na presença de um campo magnético
Passo 1
Beleza, vamos destrinchar o que a questão pede e de que matéria a gente tá falando.
– Conteúdo: átomo de hidrogênio na mecânica quântica (configuração eletrônica, funções de onda, níveis de energia e efeito Zeeman).
– O que precisamos:
– Conteúdo: átomo de hidrogênio na mecânica quântica (configuração eletrônica, funções de onda, níveis de energia e efeito Zeeman).
– O que precisamos:
- Saber que o H tem só um elétron, usar os números quânticos (n, l, m) e a forma das funções de onda conhecidas (1s, 2s, 2p…).
- Entender como escrever a função de onda completa (parte radial, angular e spin, se for o caso).
- Saber que o efeito Zeeman separa níveis por interação com um campo magnético via momento magnético do elétron.
A partir do próximo passo a gente parte pra resolução de cada item.
Passo 2
(a) Configuração eletrônica do átomo de H
Como tem só um elétron, ele preenche o orbital 1s. Então a configuração é:
1s¹
Como tem só um elétron, ele preenche o orbital 1s. Então a configuração é:
1s¹
Isso significa que o único elétron está no primeiro nível (n=1), subnível s (l=0).
Passo 3
(b) Função de onda completa para o estado fundamental do H
A parte espacial (sem contar spin) do estado fundamental é a orbital 1s, que em coordenadas esféricas é:
A parte espacial (sem contar spin) do estado fundamental é a orbital 1s, que em coordenadas esféricas é:
onde
é o raio de Bohr.
Se quisermos a “função completa”, incluímos o spin do elétron, que é com
ou
.
Então:
Se quisermos a “função completa”, incluímos o spin do elétron, que é
Então:
Mas normalmente pra H no estado básico a gente só escreve a parte espacial, e assume spin qualquer.
Passo 4
© Estado excitado para
– função de onda completa
Para os valores possíveis de
são 0 e 1.
– l=0 → orbital 2s:
Para
– l=0 → orbital 2s:
– l=1 → orbitais 2p com
:
onde
e
são os harmônicos esféricos do tipo p.
Cada um ainda pode ter spin up ou down, mas a parte espacial é essa.
Cada um ainda pode ter spin up ou down, mas a parte espacial é essa.
Passo 5
(d) Medida experimental no estado excitado
Se a gente faz uma “medida de energia” num só átomo em , ele pode estar em qualquer uma dessas 4 funções espaciais (2s ou um dos três 2p) e em cada uma há duas orientações de spin.
Então as possibilidades são:
– (2s) com
– (2p,
) com
Se a gente faz uma “medida de energia” num só átomo em
Então as possibilidades são:
–
–
No total 8 estados degenerados (antes de qualquer campo externo).
Passo 6
(e) Mesma coisa pra um gás de átomos de H
Agora não é um átomo isolado, mas vários. Se não existe interação entre eles, o estado total do gás é só o produto (ou soma de probabilidades) dos estados de cada átomo.
– Configuração eletrônica de cada átomo continua sendo 1s¹ no ground state.
– Função de onda de cada átomo idem ao caso isolado; pro gás a gente considera um estado misto (distribuição) porque cada átomo pode cair em qualquer subnível.
– As medições de energia e as possibilidades pros átomos excitados são exatamente as mesmas listadas em (d), mas multiplicadas pelo número de átomos.
Agora não é um átomo isolado, mas vários. Se não existe interação entre eles, o estado total do gás é só o produto (ou soma de probabilidades) dos estados de cada átomo.
– Configuração eletrônica de cada átomo continua sendo 1s¹ no ground state.
– Função de onda de cada átomo idem ao caso isolado; pro gás a gente considera um estado misto (distribuição) porque cada átomo pode cair em qualquer subnível.
– As medições de energia e as possibilidades pros átomos excitados são exatamente as mesmas listadas em (d), mas multiplicadas pelo número de átomos.
Passo 7
(f) H no ground state num campo magnético
: energia do elétron e Zeeman
No ground state , então não há momento magnético orbital (
). Só resta o momento magnético de spin.
A expressão de energia Zeeman é
No ground state
A expressão de energia Zeeman é
onde
e
é o magneton de Bohr.
Como , as duas energias possíveis são
Como
Sim, a gente pode observar o desdobramento (spin-Zeeman). É pequeno, mas em ressonância paramagnética eletrônica (ESR) ou espectroscopia de alta precisão aparece claramente.
Passo 8
(g) Gás de H sob as mesmas condições
Pro gás, o raciocínio é igual: cada átomo em se divide em dois níveis de energia pela interação spin-B.
Num gás, isso aparece como duas linhas (ou um alargamento duplo) nas medições espectrais. Se o gás tiver átomos em direções de spin aleatórias, você vai ver um perfil com duas componentes correspondentes a .
Pro gás, o raciocínio é igual: cada átomo em
Num gás, isso aparece como duas linhas (ou um alargamento duplo) nas medições espectrais. Se o gás tiver átomos em direções de spin aleatórias, você vai ver um perfil com duas componentes correspondentes a
Resposta
Em resumo:
(a) 1s¹
(b) (± spin)
© Para : 2s (
) e 2p (
,
), cada um com
(d) Oito estados degenerados antes de campo externo (4 espaciais × 2 spins)
(e) Mesmo esquema pra cada átomo de um gás não interagente
(f) No ground state em :
, logo há desdobramento de spin
(g) No gás aparece dupla componente (duas linhas ou duas bandas) por átomo, repetindo o efeito Zeeman de spin.
(a) 1s¹
(b)
© Para
(d) Oito estados degenerados antes de campo externo (4 espaciais × 2 spins)
(e) Mesmo esquema pra cada átomo de um gás não interagente
(f) No ground state em
(g) No gás aparece dupla componente (duas linhas ou duas bandas) por átomo, repetindo o efeito Zeeman de spin.