(a) Escreva a configuração eletrônica do átomo de H. (b) Escreva a funcão de onda completa para o estado fundamental do H. © Se o H é excitado para n=2, escreva agora a função de onda completa para esse estado. (d) Se fazemos uma medida experimental, quais seriam as possibilidades para o estado excitado do átomo de H. (e) Repeta todos os itens anteriores, agora para un gás de átomos de
H. (f) Considere um único átomo de H no estado fundamental, qual é a energia do elétron na presença de um campo magnético B. Nesta situação poderiamos observar experimentalmente o desdobramento Zeeman? Explique. (g) Que acontece para um gás de H , nas condições explicitadas em (f).

Passo 1

Beleza, vamos destrinchar o que a questão pede e de que matéria a gente tá falando.
– Conteúdo: átomo de hidrogênio na mecânica quântica (configuração eletrônica, funções de onda, níveis de energia e efeito Zeeman).
– O que precisamos:
  1. Saber que o H tem só um elétron, usar os números quânticos (n, l, m) e a forma das funções de onda conhecidas (1s, 2s, 2p…).
  2. Entender como escrever a função de onda completa (parte radial, angular e spin, se for o caso).
  3. Saber que o efeito Zeeman separa níveis por interação com um campo magnético via momento magnético do elétron.
A partir do próximo passo a gente parte pra resolução de cada item.

Passo 2

(a) Configuração eletrônica do átomo de H
Como tem só um elétron, ele preenche o orbital 1s. Então a configuração é:
1s¹
Isso significa que o único elétron está no primeiro nível (n=1), subnível s (l=0).

Passo 3

(b) Função de onda completa para o estado fundamental do H
A parte espacial (sem contar spin) do estado fundamental é a orbital 1s, que em coordenadas esféricas é:
psi100(r,theta,phi);=;1raizpi,a0^3;e^-r/a0
onde Psi1s(r,theta,phi,s) =psi100(r,theta,phi);chims(s) é o raio de Bohr.
Se quisermos a “função completa”, incluímos o spin do elétron, que é com ou .
Então:
Mas normalmente pra H no estado básico a gente só escreve a parte espacial, e assume spin qualquer.

Passo 4

© Estado excitado para psi200(r,theta,phi) =14raiz2pi,a0^3l(2-ra0r)e^-r/(2a0) – função de onda completa
Para psi21,m(r,theta,phi) =R21(r),Y1^m(theta,phi) (m=-1,0,1) os valores possíveis de R21(r)=14raiz2,a0^3ra0e^-r/(2a0) são 0 e 1.
– l=0 → orbital 2s:
– l=1 → orbitais 2p com :
onde
e são os harmônicos esféricos do tipo p.
Cada um ainda pode ter spin up ou down, mas a parte espacial é essa.

Passo 5

(d) Medida experimental no estado excitado
Se a gente faz uma “medida de energia” num só átomo em , ele pode estar em qualquer uma dessas 4 funções espaciais (2s ou um dos três 2p) e em cada uma há duas orientações de spin.
Então as possibilidades são:
(2s) com
(2p, ) com
No total 8 estados degenerados (antes de qualquer campo externo).

Passo 6

(e) Mesma coisa pra um gás de átomos de H
Agora não é um átomo isolado, mas vários. Se não existe interação entre eles, o estado total do gás é só o produto (ou soma de probabilidades) dos estados de cada átomo.
– Configuração eletrônica de cada átomo continua sendo 1s¹ no ground state.
– Função de onda de cada átomo idem ao caso isolado; pro gás a gente considera um estado misto (distribuição) porque cada átomo pode cair em qualquer subnível.
– As medições de energia e as possibilidades pros átomos excitados são exatamente as mesmas listadas em (d), mas multiplicadas pelo número de átomos.

Passo 7

(f) H no ground state num campo magnético De: energia do elétron e Zeeman
No ground state E = E1s pm gs,muB,B2 , então não há momento magnético orbital ( ). Só resta o momento magnético de spin.
A expressão de energia Zeeman é
onde e é o magneton de Bohr.
Como , as duas energias possíveis são
Sim, a gente pode observar o desdobramento (spin-Zeeman). É pequeno, mas em ressonância paramagnética eletrônica (ESR) ou espectroscopia de alta precisão aparece claramente.

Passo 8

(g) Gás de H sob as mesmas condições
Pro gás, o raciocínio é igual: cada átomo em se divide em dois níveis de energia pela interação spin-B.
Num gás, isso aparece como duas linhas (ou um alargamento duplo) nas medições espectrais. Se o gás tiver átomos em direções de spin aleatórias, você vai ver um perfil com duas componentes correspondentes a .

Resposta

Em resumo:
(a) 1s¹
(b) (± spin)
© Para : 2s ( ) e 2p ( , ), cada um com
(d) Oito estados degenerados antes de campo externo (4 espaciais × 2 spins)
(e) Mesmo esquema pra cada átomo de um gás não interagente
(f) No ground state em :
, logo há desdobramento de spin
(g) No gás aparece dupla componente (duas linhas ou duas bandas) por átomo, repetindo o efeito Zeeman de spin.

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