Para a distribuição \mathrm{N}(50,50), calcule:
P(X<120)

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória com distribuição normal escrita como \mathrm{N}(50,50) e pede a probabilidade
P(X<120).
Informações relevantes fornecidas:
  • parâmetro de localização (média): \mu=50;
  • o segundo parâmetro indicado é 50 (convencionalmente isso representa a variância), ou seja, \sigma^{2}=50.
    Não resolvemos nada ainda; apenas listamos o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Interpretação da notação e definição das quantidades que usaremos:
  • Vou assumir a convenção usual \mathrm{N}(\mu,\sigma^{2}), então \mu=50 e \sigma^{2}=50.
  • O desvio padrão é \sigma=\sqrt{50}.
  • Para calcular probabilidades de uma normal geral é prático padronizar para a normal padrão Z\sim\mathrm{N}(0,1) usando a transformação
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui cada símbolo significa:
  • X: variável com distribuição \mathrm{N}(50,50);
  • \mu: média de X, \mu=50;
  • \sigma: desvio padrão de X, \sigma=\sqrt{50};
  • Z: variável padronizada com média 0 e variância 1.

Passo 3

Calculamos o desvio padrão e o valor padronizado correspondente a x=120.
\sigma=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.
Agora calculemos o escore z associado a x=120:
z=\frac{120-\mu}{\sigma}=\frac{120-50}{\sqrt{50}}=\frac{70}{\sqrt{50}}.
Podemos simplificar \frac{70}{\sqrt{50}}:
\frac{70}{\sqrt{50}}=\frac{70}{5\sqrt{2}}=\frac{14}{\sqrt{2}}=\;7\sqrt{2}.
Portanto o valor padronizado é z=7\sqrt{2}. Note que isto evita arredondamentos intermediários.

Passo 4

Reescrevemos a probabilidade em termos da normal padrão:
P(X<120)=P\!\left(Z<7\sqrt{2}\right).
Agora uma observação importante: 7\sqrt{2}\approx 9{,}8995 é um valor de z extremamente grande (muito à direita da curva padrão). Para valores tão grandes a função de distribuição acumulada \Phi(z)=P(Z<z) está tão próxima de 1 que a cauda direita 1-\Phi(z) é praticamente zero num contexto prático.

Passo 5

Se quisermos quantificar o quão pequena é a cauda direita, usamos a densidade da normal padrão
\varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^{2}/2}
e a aproximação de cauda (fórmula de Mills) para z>0:
1-\Phi(z)\approx\frac{\varphi(z)}{z}.
Calculamos z^{2}/2 para z=7\sqrt{2}:
z^{2}=(7\sqrt{2})^{2}=98\quad\Rightarrow\quad \frac{z^{2}}{2}=49.
Logo
\varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-49}.
Numericamente, usando 1/\sqrt{2\pi}\approx0{,}39894228 e e^{-49}\approx5{,}2428857\times10^{-22}, obtemos
\varphi(z)\approx0{,}39894228\times5{,}2428857\times10^{-22}\approx2{,}092\times10^{-22}.
Aplicando a aproximação da cauda:
1-\Phi(z)\approx\frac{2{,}092\times10^{-22}}{9{,}8995}\approx2{,}11\times10^{-23}.
Esse número é absurdamente pequeno — essencialmente zero para qualquer aplicação prática.

Passo 6

Concluímos que
P(X<120)=\Phi(7\sqrt{2})\approx 1 - 2{,}11\times10^{-23}.
Em termos práticos, pode-se dizer simplesmente P(X<120)\approx 1. Mas a forma mais precisa que obtivemos é 1-2{,}11\times10^{-23}.

Resposta

P(X<120)\approx 1 - 2{,}11\times10^{-23}

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