Para a distribuição \mathrm{N}(50,50), calcule:
P(60<X<120)

Passo 1

O enunciado dá a distribuição \mathrm{N}(50,50) e pede a probabilidade \,P(60<X<120).
Informações relevantes que temos:
  • média \mu = 50.
  • a segunda coordenada 50 será tomada como variância, ou seja \sigma^{2}=50 (convenção usual \mathrm{N}(\mu,\sigma^{2})).
  • desvio padrão \sigma=\sqrt{50}.
  • queremos a probabilidade de X cair entre 60 e 120: \,P(60<X<120).

Passo 2

Conceito que vamos usar (aula rápida e prática): para uma variável aleatória X com distribuição normal \mathrm{N}(\mu,\sigma^{2}) a forma prática de calcular probabilidades é padronizar para a normal padrão Z\sim\mathrm{N}(0,1). A padronização é dada por
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Se queremos \,P(a<X<b) então
P(a<X<b)=\Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right),
onde \Phi(z)=P(Z\le z) é a função de distribuição da normal padrão. Em palavras: calculamos os dois “z-scores” (distâncias em unidades de desvio padrão) e subtraímos as cdfs correspondentes.

Passo 3

Calculemos o desvio padrão explicitamente (para ficar bonito e exato):
\sigma=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}\approx 7{,}0711.

Passo 4

Calcule os z-scores das duas extremidades:
z_{1}=\frac{60-\mu}{\sigma}=\frac{60-50}{5\sqrt{2}}=\frac{10}{5\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\approx 1{,}4142,
z_{2}=\frac{120-\mu}{\sigma}=\frac{120-50}{5\sqrt{2}}=\frac{70}{5\sqrt{2}}=\frac{14}{\sqrt{2}}=7\sqrt{2}\approx 9{,}8995.
(Repare que z_{1} ficou exatamente \sqrt{2} — um truque algébrico simpático — e z_{2} é enorme.)

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula das cdfs:
P(60<X<120)=\Phi(z_{2})-\Phi(z_{1}).
Como z_{2}\approx 9{,}90 é tão grande que \Phi(z_{2}) é praticamente 1 (a área à esquerda é praticamente total). Assim
P(60<X<120)\approx 1-\Phi(1{,}4142).
Usando tabela / calculadora da normal padrão temos \Phi(1{,}4142)\approx 0{,}92135. Então
P(60<X<120)\approx 1-0{,}92135=0{,}07865.

Passo 6

Interpretação rápida e dica para prova: como 120 está a quase 10 desvios-padrão acima da média, o limite superior não contribui com nada relevante — a probabilidade é praticamente a mesma de P(X>60). Padronize e leia \Phi em tabela para o z mais modesto (aqui z=\sqrt{2}).

Resposta

0,07865

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