Para a distribuição \mathrm{N}(50,50), calcule:
P(X>10)

Passo 1

O enunciado pede para calcular P(X>10) quando X tem distribuição \mathrm{N}(50,50). Informações dadas:
  • \mu = 50 (média).
  • \sigma^2 = 50 (variância), ou seja o desvio-padrão é \sigma=\sqrt{50}.
  • Queremos a probabilidade de X ser maior que 10: P(X>10).

Passo 2

Calcule o desvio-padrão \sigma. Temos
\sigma=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}.
É útil deixar \sigma em forma exata ( 5\sqrt{2}) e em forma decimal aproximada \sigma\approx 7{,}0711.

Passo 3

Padronizamos X para usar a distribuição normal padrão. Definimos a variável padrão Z por
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z tem distribuição \mathrm{N}(0,1). A padronização é usada porque tabelas ou funções prontas dão valores para Z. Assim,
P(X>10)=P\!\left(\frac{X-50}{\sigma}>\frac{10-50}{\sigma}\right)=P\!\left(Z>\frac{10-50}{\sigma}\right).

Passo 4

Calcule o valor de z=\dfrac{10-50}{\sigma}. Usando \sigma=5\sqrt{2}:
z=\frac{10-50}{5\sqrt{2}}=\frac{-40}{5\sqrt{2}}=-\frac{8}{\sqrt{2}}=-4\sqrt{2}.
Em valor decimal,
z=-4\sqrt{2}\approx -5{,}656854.

Passo 5

Reescrevemos a probabilidade em termos da função distribuição padrão \Phi. Como Z é simétrica,
P(X>10)=P(Z> -4\sqrt{2})=1-\Phi(-4\sqrt{2})=\Phi(4\sqrt{2}).
Ou seja, é a cauda direita correspondente a z\approx 5{,}656854, que é muito distante da média.

Passo 6

Para z tão grande, \Phi(4\sqrt{2}) é praticamente 1. Podemos estimar a diferença até 1 (a cauda superior) usando a aproximação de cauda normal (Mills):
1-\Phi(z)\approx \frac{1}{z\sqrt{2\pi}}e^{-z^{2}/2}\quad\text{para }z\gg 0.
Aqui z=4\sqrt{2}, então z^{2}/2=16 e
e^{-16}\approx 1{,}125351747\times 10^{-7}.
O denominador é
z\sqrt{2\pi}\approx 5{,}656854\cdot 2{,}506628275\approx 14{,}176.
Logo a cauda é aproximadamente
1-\Phi(4\sqrt{2})\approx \frac{1{,}1253517\times 10^{-7}}{14{,}176}\approx 7{,}94\times 10^{-9}.
Portanto
\Phi(4\sqrt{2})\approx 1 - 7{,}94\times 10^{-9}\approx 0{,}99999999206.

Passo 7

Conclusão numérica: a probabilidade P(X>10) é extremamente próxima de 1. Para fins práticos numa prova, pode-se dizer que é praticamente 1, mas o valor aproximado mais preciso é dado abaixo.

Resposta

0{,}99999999206

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