Para a distribuição
, calcule:
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória com distribuição normal
e pede a probabilidade
.
Informações fornecidas e o que é pedido:
Informações fornecidas e o que é pedido:
- A média é
. - O segundo parâmetro é
; aqui vamos interpretar isso como variância, ou seja . - Queremos a probabilidade de que
seja menor que : .
Passo 2
Primeiro precisamos da desviopadrão
.
A fórmula é . Aplicando ao nosso caso:
A fórmula é
Aqui eu mostrei o cálculo exato
e a aproximação decimal
.
Passo 3
Para usar as tabelas ou propriedades da normal padrão, padronizamos
definindo a variável
por
Essa transformação leva qualquer normal
para a normal padrão
. A ideia: calcular
é equivalente a calcular
.
Passo 4
Calculemos o valor de
:
Aproximação decimal:
Passo 5
Usamos a simetria da normal padrão: para
,
Assim
Como
é um valor muito grande (≈
), a probabilidade é extremamente pequena — precisamos de uma aproximação do cauda da normal.
Passo 6
Uma aproximação clássica para a cauda da normal padrão é dada por (fórmula de Mills, versão simples)
onde
é a densidade da normal padrão:
Vamos calcular numericamente para
.
Primeiro , então
.
A constante .
Portanto
Primeiro
A constante
Portanto
Agora dividimos por
:
Passo 7
Interpretação final: a probabilidade
é extremamente próxima de zero — cerca de
em um bilhão. Para a maioria das aplicações isso pode ser tratado como zero, mas a aproximação numérica é útil se você precisar de precisão.