Para a distribuição \mathrm{N}(50,50), calcule:
P(X<10)

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória com distribuição normal \mathrm{N}(50,50) e pede a probabilidade \,P(X<10).
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • A média é \mu=50.
  • O segundo parâmetro é 50; aqui vamos interpretar isso como variância, ou seja \sigma^2=50.
  • Queremos a probabilidade de que X seja menor que 10: \,P(X<10).

Passo 2

Primeiro precisamos da desviopadrão \sigma.
A fórmula é \sigma=\sqrt{\sigma^2}. Aplicando ao nosso caso:
\sigma=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7,0711.
Aqui eu mostrei o cálculo exato \sqrt{50}=5\sqrt{2} e a aproximação decimal \,7,0711.

Passo 3

Para usar as tabelas ou propriedades da normal padrão, padronizamos X definindo a variável Z por
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Essa transformação leva qualquer normal N(\mu,\sigma^2) para a normal padrão N(0,1). A ideia: calcular P(X<10) é equivalente a calcular P\!\big(Z<\dfrac{10-\mu}{\sigma}\big).

Passo 4

Calculemos o valor de z:
z=\frac{10-50}{\sqrt{50}}=\frac{-40}{5\sqrt{2}}=-\frac{8}{\sqrt{2}}=-4\sqrt{2}.
Aproximação decimal:
z\approx -5,65685.

Passo 5

Usamos a simetria da normal padrão: para a>0,
P(Z<-a)=P(Z>a).
Assim
P(X<10)=P\!\big(Z<-4\sqrt{2}\big)=P\!\big(Z>4\sqrt{2}\big).
Como 4\sqrt{2} é um valor muito grande (≈ 5,657), a probabilidade é extremamente pequena — precisamos de uma aproximação do cauda da normal.

Passo 6

Uma aproximação clássica para a cauda da normal padrão é dada por (fórmula de Mills, versão simples)
P(Z>z)\approx \frac{\varphi(z)}{z},
onde \varphi(z) é a densidade da normal padrão:
\varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}.
Vamos calcular numericamente para z=4\sqrt{2}.
Primeiro z^2/2=16, então e^{-z^2/2}=e^{-16}\approx 1,125351747\times 10^{-7}.
A constante \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx 0,3989422804.
Portanto
\varphi(4\sqrt{2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-16}\approx 0,3989422804\times 1,125351747\times 10^{-7}\approx 4,4888\times 10^{-8}.
Agora dividimos por z\approx 5,65685:
P(Z>4\sqrt{2})\approx \frac{4,4888\times 10^{-8}}{5,65685}\approx 7,93\times 10^{-9}.

Passo 7

Interpretação final: a probabilidade \,P(X<10) é extremamente próxima de zero — cerca de 8 em um bilhão. Para a maioria das aplicações isso pode ser tratado como zero, mas a aproximação numérica é útil se você precisar de precisão.

Resposta

7,93\times 10^{-9}

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