Para a distribuição \mathrm{N}(50,50), calcule:
P(X>60)

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule P(X>60) quando X tem distribuição normal \mathrm{N}(50,50). As informações relevantes que recebemos são: \n
  • A média é \mu=50. \n
  • A segunda componente 50 é, pela convenção padrão, a variância \sigma^{2}=50. Portanto o desvio-padrão é \sigma=\sqrt{50}. \n
    A pergunta concreta é: qual a probabilidade de X ser maior que 60, isto é P(X>60).

Passo 2

Para trabalhar com normas normais usamos a padronização. A ideia é transformar X numa variável sem dimensão que tem média 0 e variância 1 (a normal padrão). A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média de X e \sigma é o desvio-padrão de X. Aqui \mu=50 e \sigma=\sqrt{50}. Aplicando para x=60 temos
z=\frac{60-50}{\sqrt{50}}=\frac{10}{\sqrt{50}}.
Vamos simplificar \frac{10}{\sqrt{50}}: \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}, então
z=\frac{10}{5\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\approx1,4142.

Passo 3

Agora usamos que, para X\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^{2}),
P(X>60)=P\!\left(Z>\frac{60-\mu}{\sigma}\right)=P(Z>\sqrt{2}),
onde Z\sim\mathrm{N}(0,1) (normal padrão). A função \Phi(z) é a função de distribuição acumulada da normal padrão: \Phi(z)=P(Z\le z). Portanto
P(Z>\sqrt{2})=1-\Phi(\sqrt{2}).
Outra propriedade útil é a simetria: P(Z>z)=\Phi(-z). Então P(Z>\sqrt{2})=\Phi(-\sqrt{2}).

Passo 4

Agora precisamos do valor numérico de \Phi(\sqrt{2}). Usando tabela da normal padrão ou calculadora: \sqrt{2}\approx1,4142. As entradas da tabela dão \Phi(1,41)=0,9207 e \Phi(1,42)=0,9222. Fazendo uma interpolação simples para 1,4142 obtemos aproximadamente \Phi(1,4142)\approx0,9213. Assim
P(X>60)=1-\Phi(\sqrt{2})\approx1-0,9213=0,0787.

Passo 5

Resumo prático das contas que você poderia escrever rápido na prova: padroniza, obtém z=\sqrt{2}, consulta tabela/calculadora e calcula 1-\Phi(\sqrt{2}). Resultado aproximado 0,0787. Dá pra justificar também escrevendo P(X>60)=\Phi(-\sqrt{2})\approx0,0787.

Resposta

0,0787

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