Uma distribuição não-uniforme de carga esfericamente simétrica produz um campo elétrico que varia ao longo do eixo radial como E=alpha r^5, com um sentido que aponta para fora do centro da esfera. Assinale a alternativa que contém a função que descreve a distribuição radial dessas cargas e o sinal das cargas.
e) rho=7 alpha epsilon0 r^4, positivo

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre distribuição de carga e campo elétrico esférico. A questão nos diz que temos uma distribuição de carga não-uniforme, com simetria esférica, que gera um campo elétrico que varia radialmente como $ E = \alpha r^{5} E = alpha r^5 éçãçã \rho® $) e determinar o sinal dessas cargas.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que conecta o campo elétrico à distribuição de carga. Precisamos entender um pouquinho de cálculo diferencial aplicado a campos elétricos em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma diferencial da Lei de Gauss, que é:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
Aqui, $ \nabla \cdot \mathbf{E} $ representa a divergência do campo elétrico $ \mathbf{E} $, $ \rho $ é a densidade de carga e $ \varepsilon_{0} $ é a permissividade do vácuo.
Como nosso campo elétrico tem simetria esférica e aponta radialmente, podemos escrever $ \mathbf{E} = E_r® , \hat{r} $, onde $ E_r® = \alpha r^{5} $.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a divergência de $ \mathbf{E} $ em coordenadas esféricas. A divergência em coordenadas esféricas para um campo radial é dada por:
E
Substituindo $ E_r = \alpha r^{5} $:
nabla cdot E = 1r^2 ddr ( r^2 Er )

Passo 4

Vamos derivar $ \alpha r^{7} $ em relação a $ r $:
alpha r^7
Substituindo de volta na expressão da divergência:
r

Passo 5

Agora, lembrando da Lei de Gauss diferencial:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
Igualando as duas expressões:
7 alpha r^4 = rhovarepsilon0
Resolvendo para $ \rho $:
rho

Resposta

A função que descreve a distribuição radial das cargas é $ \rho = 7 \alpha \varepsilon_{0} r^{4} $ e as cargas são positivas.

Exercícios relacionados