Uma distribuição não-uniforme de carga esfericamente simétrica produz um campo elétrico que varia ao longo do eixo radial como
, com um sentido que aponta para fora do centro da esfera. Assinale a alternativa que contém a função que descreve a distribuição radial dessas cargas e o sinal das cargas.
e)
, positivo
e)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre distribuição de carga e campo elétrico esférico. A questão nos diz que temos uma distribuição de carga não-uniforme, com simetria esférica, que gera um campo elétrico que varia radialmente como $ E = \alpha r^{5}
\rho® $) e determinar o sinal dessas cargas.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que conecta o campo elétrico à distribuição de carga. Precisamos entender um pouquinho de cálculo diferencial aplicado a campos elétricos em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma diferencial da Lei de Gauss, que é:
Aqui, $ \nabla \cdot \mathbf{E} $ representa a divergência do campo elétrico $ \mathbf{E} $, $ \rho $ é a densidade de carga e $ \varepsilon_{0} $ é a permissividade do vácuo.
Como nosso campo elétrico tem simetria esférica e aponta radialmente, podemos escrever $ \mathbf{E} = E_r® , \hat{r} $, onde $ E_r® = \alpha r^{5} $.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a divergência de $ \mathbf{E} $ em coordenadas esféricas. A divergência em coordenadas esféricas para um campo radial é dada por:
Substituindo $ E_r = \alpha r^{5} $:
Passo 4
Vamos derivar $ \alpha r^{7} $ em relação a $ r $:
Substituindo de volta na expressão da divergência:
Passo 5
Agora, lembrando da Lei de Gauss diferencial:
Igualando as duas expressões:
Resolvendo para $ \rho $:
Resposta
A função que descreve a distribuição radial das cargas é $ \rho = 7 \alpha \varepsilon_{0} r^{4} $ e as cargas são positivas.