(a) Um litro de gás com
está a 273 K e 1 atm de pressão. Ele é repentinamente (adiabaticamente) comprimido até metade do seu volume original. Determine a pressão e a temperatura finais. (b) Em seguida, o gás é resfriado de volta até 273 K a pressão constante. Determine o volume final do gás. © Calcule o trabalho total realizado sobre o gás.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de termodinâmica juntos! A gente tem um gás que está inicialmente a 273 K de temperatura e 1 atm de pressão, com um volume de 1 litro. A resistência específica do gás é
. Precisamos calcular como a pressão e a temperatura mudam quando comprimimos o gás adiabaticamente (sem troca de calor) até metade do volume original, e depois ver o que acontece quando resfriamos o gás de volta para 273 K mantendo a pressão constante. Também vamos calcular o trabalho total feito sobre o gás. Para isso, vamos usar as leis dos processos adiabáticos e isotérmicos, além da equação de estado dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a) do exercício, que envolve a compressão adiabática. Numa compressão adiabática, não há troca de calor com o ambiente, então usamos a relação:
Aqui,
é a pressão,
é o volume e
é a razão entre os calores específicos.
Passo 3
Sabendo que o volume final
é metade do volume inicial
, temos:
Passo 4
Usando a relação adiabática
, podemos resolver para a pressão final
:
Calculando isso:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a temperatura final
após a compressão adiabática. Usamos a relação:
Resolvendo para
:
Calculando isso:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). O gás é resfriado de volta para 273 K mantendo a pressão constante. Usamos a equação dos gases ideais:
Isso significa que a razão entre o volume e a temperatura permanece a mesma quando a pressão é constante.
Passo 7
Sabendo que a pressão é constante, podemos relacionar os volumes e temperaturas iniciais e finais:
Resolvendo para
:
Calculando isso:
Passo 8
Finalmente, vamos calcular o trabalho total realizado sobre o gás na parte ©. O trabalho em processos diferentes precisa ser calculado separadamente e depois somado.
Passo 9
Para a compressão adiabática, o trabalho realizado sobre o gás é dado por:
Usando os valores que já encontramos:
(Note que o sinal negativo indica trabalho realizado sobre o gás.)
Passo 10
Para o resfriamento a pressão constante, o trabalho é dado por:
Passo 11
Agora, somamos os trabalhos dos dois processos:
Convertendo para joules (sabendo que
):
Resposta
O trabalho total realizado sobre o gás é aproximadamente
.