Uma amostra de que ocupa
a uma pressão de 103 kPA é expandido isotermicamente até uma pressão nula e, em seguida, resfriado a pressão constante até atingir o seu volume inicial. Calcule o trabalho realizado sobre o gás.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um gás que começa com um volume de
e uma pressão de 103 kPA. Esse gás é primeiro expandido isotermicamente, ou seja, a temperatura permanece constante, até a pressão chegar a zero. Depois, ele é resfriado mantendo a pressão constante até voltar ao volume inicial. Nosso objetivo aqui é calcular o trabalho realizado sobre o gás durante todo esse processo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente sobre trabalho em processos isotérmicos e a lei dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na expansão isotérmica, onde a temperatura do gás permanece constante. Nessa situação, a relação entre pressão e volume é dada pela lei de Boyle-Mariotte:
Como a temperatura não muda, podemos dizer que
.
Passo 3
Sabemos que a pressão final após a expansão isotérmica é zero (
). Mas isso implica que o volume tenderia ao infinito, o que na prática não acontece. Provavelmente, há um erro na interpretação. Vamos considerar que a expansão isotérmica ocorre até uma pressão mínima muito pequena, mas para simplificar, vamos calcular o trabalho na expansão de
até um volume
onde a pressão é quase zero.
Passo 4
O trabalho realizado durante uma expansão isotérmica pode ser calculado pela fórmula:
No entanto, como não temos informações sobre a quantidade de substância ou a temperatura, vamos usar a forma em termos de pressão e volume:
Como
, $V_2 $ tende ao infinito, e o logaritmo também tende ao infinito, mas na prática, vamos considerar que
é muito maior que
e calcular o trabalho como $ P_1 V_1 $.
Passo 5
Após a expansão isotérmica, o gás é resfriado a pressão constante até voltar ao volume inicial. O trabalho realizado nesse processo de resfriamento a pressão constante é dado por:
Como o volume volta ao
, a variação de volume
. Como
é muito grande, o trabalho será negativo, indicando que o trabalho é feito pelo gás.
Passo 6
Somando os dois trabalhos:
Considerando que
é positivo (trabalho realizado sobre o gás) e
é negativo (trabalho realizado pelo gás), o trabalho total será observado.
Resposta
O trabalho total realizado sobre o gás durante todo o processo é aproximadamente
.