Um engenheiro químico está testando tubos de vidro utilizados em um sistema de reação contínua. Cada tubo tem uma probabilidade de 10 \% de apresentar microfissuras após o processo de resfriamento. São testados 15 tubos ( \mathrm{n}=15 ) de forma independente. a) Qual a probabilidade de no máximo 3 estarem defeituosos? b) Faça uma interpretação prática do resultado anterior. c) Qual a esperança (valor esperado) e o desvio padrão da distribuição? (2,5)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas. Informações: \;n=15 tubos testados, cada tubo tem probabilidade de apresentar microfissuras \;p=0,1, e os testes são independentes. Perguntas:
a) Qual a probabilidade de que no máximo 3 tubos estejam defeituosos?
b) Faça uma interpretação prática do resultado da alínea (a).
c) Qual a esperança (valor esperado) e o desvio padrão da distribuição?

Passo 2

Vamos aprender o modelo que serve para resolver o problema: a distribuição binomial. Quando temos um número fixo \;n de ensaios independentes, cada um com probabilidade \;p de “sucesso” (aqui, “sucesso” = tubo defeituoso), o número X de sucessos segue uma distribuição binomial com parâmetros \;n e \;p. A função de probabilidade (probabilidade de exatamente k defeituosos) é
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k}.
Aqui \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k dentre os n tubos estão defeituosos; a fórmula de combinação é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Explicando sem jargão: \binom{n}{k} conta quantas escolhas diferentes de k tubos existem, p^k é a probabilidade de esses k escolhidos estarem defeituosos e (1-p)^{n-k} é a probabilidade dos outros n-k não estarem defeituosos.

Passo 3

Para a pergunta (a) queremos a probabilidade de no máximo 3 defeituosos, isto é P(X\le 3). Usamos a soma das probabilidades de k=0,1,2,3:
P(X\le 3)=\sum_{k=0}^{3} \binom{15}{k} (0,1)^{k} (0,9)^{15-k}.
Calculamos termo a termo. Primeiro os coeficientes combinatórios usados:
\binom{15}{0}=1,\qquad \binom{15}{1}=15,\qquad \binom{15}{2}=105,\qquad \binom{15}{3}=455.
Agora os termos individuais:
\begin{aligned} P(X=0)&=\binom{15}{0}(0,1)^{0}(0,9)^{15}=(0,9)^{15}\approx 0,2058911321,\\[4pt] P(X=1)&=\binom{15}{1}(0,1)^{1}(0,9)^{14}=15\cdot 0,1\cdot(0,9)^{14}\approx 0,3431518868,\\[4pt] P(X=2)&=\binom{15}{2}(0,1)^{2}(0,9)^{13}=105\cdot 0,01\cdot(0,9)^{13}\approx 0,26689591197,\\[4pt] P(X=3)&=\binom{15}{3}(0,1)^{3}(0,9)^{12}=455\cdot 0,001\cdot(0,9)^{12}\approx 0,12850543910. \end{aligned}]

Passo 4

Somando os quatro termos obtemos
P(X\le 3)\approx 0,2058911321+0,3431518868+0,26689591197+0,12850543910\approx 0,94444437.
Arredondando, \;P(X\le 3)\approx 0,9444 (ou 94{,}44\%).

Passo 5

Interpretação prática (resposta da alínea b): esse valor significa que, quando testamos 15 tubos independentes cujo risco individual de ter microfissuras é 10\%, a chance de encontrarmos até 3 tubos com microfissuras é muito alta, cerca de 94{,}4\%. Em outras palavras, é pouco provável (aprox. 5{,}56\%) encontrar 4 ou mais tubos defeituosos nessa amostra de 15. Na prática isso ajuda a avaliar risco: em 94 em cada 100 amostras semelhantes esperaríamos no máximo 3 defeitos.

Passo 6

Agora a esperança e o desvio padrão (alínea c). Para uma binomial com parâmetros \;n e \;p temos as fórmulas padrão:
\mathbb{E}[X]=n p,\qquad \mathrm{Var}(X)=n p(1-p),\qquad \sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}.
Aplicando aos valores \;n=15 e \;p=0,1:
\mathbb{E}[X]=15\cdot 0,1=1,5,
\mathrm{Var}(X)=15\cdot 0,1\cdot 0,9=1,35,
\sigma_X=\sqrt{1,35}\approx 1,161895003.
Interpretação curta: o número médio esperado de tubos com microfissuras por teste de 15 tubos é 1{,}5 tubos, e a dispersão típica em torno dessa média é cerca de 1{,}16 tubos.

Resposta

a) \displaystyle P(X\le3)=\sum_{k=0}^{3}\binom{15}{k}(0,1)^{k}(0,9)^{15-k}\approx 0,94444437
b) A probabilidade de no máximo 3 defeituosos entre 15 tubos é cerca de 94{,}4\%; portanto é improvável (aprox. 5{,}56\%) ter 4 ou mais defeitos nessa amostra.
c) \mathbb{E}[X]=1,5,\qquad \sigma_X=\sqrt{1,35}\approx 1,1619

Exercícios relacionados