Um engenheiro químico está testando tubos de vidro utilizados em um sistema de reação contínua. Cada tubo tem uma probabilidade de
de apresentar microfissuras após o processo de resfriamento. São testados 15 tubos (
) de forma independente. a) Qual a probabilidade de no máximo 3 estarem defeituosos? b) Faça uma interpretação prática do resultado anterior. c) Qual a esperança (valor esperado) e o desvio padrão da distribuição?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas. Informações:
tubos testados, cada tubo tem probabilidade de apresentar microfissuras
, e os testes são independentes. Perguntas:
a) Qual a probabilidade de que no máximo 3 tubos estejam defeituosos?
b) Faça uma interpretação prática do resultado da alínea (a).
c) Qual a esperança (valor esperado) e o desvio padrão da distribuição?
a) Qual a probabilidade de que no máximo 3 tubos estejam defeituosos?
b) Faça uma interpretação prática do resultado da alínea (a).
c) Qual a esperança (valor esperado) e o desvio padrão da distribuição?
Passo 2
Vamos aprender o modelo que serve para resolver o problema: a distribuição binomial. Quando temos um número fixo
de ensaios independentes, cada um com probabilidade
de “sucesso” (aqui, “sucesso” = tubo defeituoso), o número
de sucessos segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. A função de probabilidade (probabilidade de exatamente
defeituosos) é
Aqui
é o número de maneiras de escolher quais
dentre os
tubos estão defeituosos; a fórmula de combinação é
Explicando sem jargão:
conta quantas escolhas diferentes de
tubos existem,
é a probabilidade de esses
escolhidos estarem defeituosos e
é a probabilidade dos outros
não estarem defeituosos.
Passo 3
Para a pergunta (a) queremos a probabilidade de no máximo 3 defeituosos, isto é
. Usamos a soma das probabilidades de
:
Calculamos termo a termo. Primeiro os coeficientes combinatórios usados:
Agora os termos individuais:
Passo 4
Somando os quatro termos obtemos
Arredondando,
(ou
).
Passo 5
Interpretação prática (resposta da alínea b): esse valor significa que, quando testamos 15 tubos independentes cujo risco individual de ter microfissuras é
, a chance de encontrarmos até 3 tubos com microfissuras é muito alta, cerca de
. Em outras palavras, é pouco provável (aprox.
) encontrar 4 ou mais tubos defeituosos nessa amostra de 15. Na prática isso ajuda a avaliar risco: em 94 em cada 100 amostras semelhantes esperaríamos no máximo 3 defeitos.
Passo 6
Agora a esperança e o desvio padrão (alínea c). Para uma binomial com parâmetros
e
temos as fórmulas padrão:
Aplicando aos valores
e
:
Interpretação curta: o número médio esperado de tubos com microfissuras por teste de 15 tubos é
tubos, e a dispersão típica em torno dessa média é cerca de
tubos.
Resposta
a)
b) A probabilidade de no máximo 3 defeituosos entre 15 tubos é cerca de ; portanto é improvável (aprox.
) ter 4 ou mais defeitos nessa amostra.
c)
b) A probabilidade de no máximo 3 defeituosos entre 15 tubos é cerca de
c)