Em uma distribuição normal, 28 % dos elementos são superiores a 34 e 12% inferiores a 19. Encontre a média e a variância dessa distribuição.

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos uma variável que segue uma distribuição normal (ou “gaussiana”) desconhecida e, dele, sabemos:
  • 28% dos valores ficam acima de 34, isto é .
  • 12% dos valores ficam abaixo de 19, isto é .
O que a gente quer encontrar é a média e a variância dessa normal.
Conteúdo envolvido: distribuição normal, padronização (transformar em ), tabela (ou inversa) da normal padrão, e resolução de sistema de duas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a ideia de padronizar:
Z = X - musigma
Para a condição Pr!l(Z > tfrac34-musigmar) = 0.28 , escrevemos
tfrac34-musigma = z0.72
Na prática, a tabela da normal padrão costuma dar 34-musigma = 0.58 Longrightarrow 34-mu = 0.58,sigma tag1 . Como equivale a , definimos
Consultando a tabela (ou inverso da normal), . Logo:

Passo 3

Agora a outra info: Pr!l(Z < tfrac19-musigmar)=0.12 . Padronizando,
19-musigma = -1.175 Longrightarrow 19-mu = -1.175,sigma tag2
Da tabela, o ponto onde a área à esquerda vale 0.12 é . Então

Passo 4

Agora a gente tem duas equações lineares em (34-mu)-(19-mu) = 0.58,sigma - (-1.175,sigma) Longrightarrow 15 = (0.58 + 1.175),sigma = 1.755,sigma e sigma = 151.755approx 8.5449 :
(1) 34 - mu = 0.58times 8.5449 approx 4.956 Longrightarrow mu = 34 - 4.956 approx 29.044
(2)
- Subtraindo (2) de (1):
Daí
Agora, escolhe uma das equações, por exemplo (1):

Passo 5

Faltou só a variância, mas é sigma^2 approx (8.5449)^2 approx 73.04 . Logo

Resposta

Média
Variância

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