Uma companhia produz circuitos em três fábricas, I, II e III. A fábrica I produz 40 \% dos circuitos, enquanto a II e a III produzem 30% cada uma. As probabilidades de que um circuito integrado produzido por essas fábricas não funcione são 0,01,0,04 e 0,03 , respectivamente. Determine:
a) um circuito defeituoso foi detectado em um teste de qualidade feito a partir da produção conjunta das três fábricas, qual a probabilidade de ele ser proveniente da fábrica II?

Passo 1

O enunciado diz que há três fábricas (I, II e III) com probabilidades de produção de 40\%, 30\% e 30\%, respectivamente, e que as probabilidades de um circuito ser defeituoso são, para cada fábrica, 0,01, 0,04 e 0,03. Queremos a probabilidade de o circuito defeituoso ter vindo da fábrica II, ou seja, P(\text{II}\mid D). O conteúdo aqui é probabilidade condicional e teorema de Bayes.

Passo 2

Vamos chamar de F_1, F_2 e F_3 os eventos “circuito veio da fábrica I, II e III” e de D o evento “circuito é defeituoso”. Primeiro calculamos as probabilidades conjuntas P(D\cap F_i)=P(D\mid F_i)P(F_i):
P(D\cap F_1)=0,01\cdot0,40=0,004,
P(D\cap F_2)=0,04\cdot0,30=0,012,
P(D\cap F_3)=0,03\cdot0,30=0,009.

Passo 3

Agora calculamos P(D) somando as três conjuntas:
P(D)=0,004+0,012+0,009=0,025.

Passo 4

Aplicamos o teorema de Bayes para obter
P(F_2\mid D) =\frac{P(D\cap F_2)}{P(D)} =\frac{0,012}{0,025}.

Passo 5

Fazendo a divisão, temos
P(F_2\mid D)=0,48,
ou seja, 48\%.

Resposta

A probabilidade de o circuito defeituoso ter sido produzido na fábrica II é de 0,48 (ou 48\%).

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