Sejam x_{1} e x_{2} v.a. independentes e normalmente distribuidas \operatorname{com} \mu=0, \sigma_{1}^{2}=4, \mu_{2}=1, \sigma_{2}^{2}=0 dadas como as respectivas médias e variâncias.
se amostras aleatórias de tamanho 9 e 16 são tomadas sobre \mathrm{x}_{1} e \mathrm{x}_{2}, respectivamente, qual é a distribuição da variável y=x_{1}-x_{2} ?

Passo 1

O enunciado descreve duas variáveis aleatórias independentes X_{1} e X_{2} com \mu_{1}=0, \sigma_{1}^{2}=4 e \mu_{2}=1, \sigma_{2}^{2}=0. Sobre cada população faz–se uma amostra aleatória de tamanhos n_{1}=9 e n_{2}=16, respectivamente. Denotemos por \bar X_{1} e \bar X_{2} as médias amostrais de X_{1} e X_{2}. Queremos a distribuição de
Y = \bar X_{1} - \bar X_{2}.
O conteúdo é: combinação linear de variáveis normais independentes continua normal, e média amostral de uma normal é exata normal.

Passo 2

Como X_{1}\sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}) e X_{2}\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}), tem‐se exatamente
\bar X_{1}\sim N\!\bigl(\mu_{1},\,\sigma_{1}^{2}/n_{1}\bigr) \quad\text{e}\quad \bar X_{2}\sim N\!\bigl(\mu_{2},\,\sigma_{2}^{2}/n_{2}\bigr).
Aqui, \sigma_{2}^{2}=0 significa que \bar X_{2} é degenerada em \mu_{2}.

Passo 3

Por independência, a diferença
Y = \bar X_{1} - \bar X_{2}
é normal com
E[Y] \;=\; E[\bar X_{1}]-E[\bar X_{2}] \quad\text{e}\quad \Var(Y) \;=\; \Var(\bar X_{1})+\Var(\bar X_{2}).

Passo 4

Substituindo os valores:
E[Y] = \mu_{1}-\mu_{2} = 0 - 1 = -1,
\Var(Y) = \frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}} = \frac{4}{9} + \frac{0}{16} = \frac{4}{9}.

Resposta

Y \sim N\!\Bigl(-1,\;\tfrac{4}{9}\Bigr).

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