7 - [Distribuição de objetos em cubículos.]

Considere o espaço amostral decorrente de alocar k objetos (bolas, etc.) em n cubículos (caixas,urnas, etc.) enumerados de 1 a n. Esta classe de problemas aparece, por exemplo, na Física Estatística quando é estudada a distribuição de k partículas (prótons, elétrons, etc.) entre n estados (que podem ser níveis de energia). Na física estatística dizemos que:
a)as partículas obedecem a estatística de Maxwell-Boltzmann se são distinguíveis.
b)as partículas obedecem a estatística de FermiDirac se são indistinguíveis e se estão sujeitas ao princípio de exclusão de Pauli (i.e. no máximo uma partícula por sítio).
c) as partículas obedecem a estatística de BoseEinstein se são indistinguíveis mas não estão sujeitas ao princípio de exclusão de Pauli (i.e. sem restrição ao número de partículas por sítio, como no caso da estatística de MaxwellBoltzmann).
Descreva o espaço amostral para estes modelos de alocação de partículas.

Passo 1

Temos um problema de distribuir k objetos em n cubículos, que em Física Estatística corresponde a distribuir k partículas em n=n estados. Vamos precisar usar conceitos de arranjos de objetos distinguíveis e de ocupações de sítios por partículas indistinguíveis, com ou sem restrição de exclusão.

Passo 2

No caso de Maxwell–Boltzmann as partículas são distinguíveis e não há limite de ocupação em cada cubículo. Cada configuração corresponde a uma sequência (i1,i2,dots,ik), onde ijin1,2,dots,n indica em qual cubículo está a partícula j. O espaço amostral é
OmegaMB=(i1,i2,dots,ik):ijin1,dots,n,

Passo 3

No caso de Fermi–Dirac as partículas são indistinguíveis e cada cubículo comporta no máximo uma partícula (princípio de exclusão de Pauli). Basta registrar o vetor de ocupações (n1,n2,dots,nn), onde niin0,1 e
sumi=1^n ni=k,
Logo o espaço amostral é
OmegaFD=(n1,dots,nn):niin0,1,;sumi=1^n ni=k,

Passo 4

No caso de Bose–Einstein as partículas são indistinguíveis e não há limite de ocupação. Também usamos um vetor de ocupações (n1,dots,nn), agora com niin0,1,2,dots e
sumi=1^n ni=k,
Logo o espaço amostral é
OmegaBE=(n1,dots,nn):niinN0,;sumi=1^n ni=k,

Resposta

As descrições dos espaços amostrais são:
Maxwell–Boltzmann:
OmegaMB=(i1,dots,ik):ijin1,dots,n.
Fermi–Dirac:
OmegaFD=(n1,dots,nn):niin0,1,sumi=1^n ni=k.
Bose–Einstein:
OmegaBE=(n1,dots,nn):niinN0,sumi=1^n ni=k.

Exercícios relacionados