Dois dados são lançados.
a) Qual a probabilidade condicional de ter saído 6 dado que os números das faces viradas para cima dos dados foram diferentes?
b) Qual a probabilidade condicional do primeiro dado ter mostrado um 6 dado que a soma é i, i=2, ldots, 12 ?

Passo 1

Temos dois dados justos sendo lançados. Precisamos calcular probabilidades condicionais, usando a fórmula P(Amid B)=P(Acap B)P(B).

Passo 2

Para a) definimos A=“saiu um 6 em pelo menos um dos dois dados” e B=“os números nos dois dados são diferentes”. O espaço amostral total tem 36 resultados equiprováveis. O evento B exclui os pares iguais, então tem 36-6=30 resultados. Logo P(B)=30/36.

Passo 3

Ainda para a), o evento Acap B exige que haja exatamente um 6 (caso contrário seriam iguais ou nenhum 6). Os pares possíveis são (6,x) e (x,6) com xin1,2,3,4,5, totalizando 10 resultados. Então P(Acap B)=10/36 e
P(Amid B)=10/3630/36=1030=13

Passo 4

Para b) definimos Ci=“soma dos dois dados é i” e D=“primeiro dado mostra 6”. Queremos P(Dmid Ci)=P(Dcap Ci)/P(Ci). O número de resultados que somam i é ni, onde
ni=i-1,&i=2,3,4,5,6,7,13-i,&i=7,8,9,10,11,12

Passo 5

Então P(Ci)=ni/36. O evento Dcap Ci exige primeiro dado = 6 e soma = i, logo o segundo dado deve ser i-6. Isso só é possível quando 1<= i-6<=6 (ou seja i=7,8,9,10,11,12), e nesses casos há exatamente 1 resultado. Para i<7 não há nenhum.

Passo 6

Portanto para i<7 temos P(Dmid Ci)=0, e para i=7,8,9,10,11,12
P(Dmid Ci)=1/36ni/36=1ni

Resposta

a) 13.
b) P(1º dado=6mid soma=i)=0º para i=2,3,4,5,6, e para i=7,8,9,10,11,12 vale respectivamente 1/6,;1/5,;1/4,;1/3,;1/2,;1.

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