Sejam E, F e G três eventos. Encontre uma expressão para os seguintes eventos
Pelo menos um dos eventos ocorre.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que pelo menos um dos eventos E, F e G ocorra. Esse tipo de problema envolve união de eventos e vamos usar o princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Interpretamos “pelo menos um dos eventos ocorre” como a união dos eventos, ou seja, precisamos calcular P(E cup F cup G).

Passo 3

Recordamos que para dois eventos A e B vale a fórmula P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B).

Passo 4

Usamos a associatividade da união para escrever P(E cup F cup G) = P((E cup F) cup G) = P(E cup F) + P(G) - P((E cup F) cap G).

Passo 5

Agora expandimos P((E cup F) cap G) usando que (E cup F) cap G = (E cap G) cup (F cap G) e aplicamos a fórmula para dois eventos: P((E cap G) cup (F cap G)) = P(E cap G) + P(F cap G) - P(E cap F cap G).

Passo 6

Substituindo no passo anterior e simplificando chegamos à expressão final.

Resposta

P(E cup F cup G) = P(E) + P(F) + P(G) - P(E cap F) - P(E cap G) - P(F cap G) + P(E cap F cap G)

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