A altura de ondas em oceanografia segue uma distribuição de Rayleigh com parâmetro
. Sabe-se que se
Rayleigh
, então
(Qui-quadrado com 2 graus de liberdade). Se observarmos uma única onda com
metros, monte o IC de
para o parâmetro
. (Dados:
e
).
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (peguei tudo do enunciado):
- Foi dada a suposição de que a altura de ondas
segue a distribuição de Rayleigh com parâmetro . - Foi informada a relação conhecida: se
Rayleigh então
- Observou-se uma única onda com valor
metros. - O enunciado pede: montar o intervalo de confiança de
para o parâmetro . - Foram fornecidos os quantis da qui-quadrado com
graus de liberdade:
Passo 2
Ideia do método (explicação didática do que vamos usar — sem pular etapas):
- Queremos um intervalo de confiança para
. Uma maneira padrão é usar uma quantidade pivotal: uma função dos dados e do parâmetro cuja distribuição não depende do parâmetro. Aqui a quantidade pivotal é
porque a distribuição de
é
e não depende de
.
- Se temos uma observação
, podemos colocar probabilisticamente os quantis da em torno de para obter um intervalo para . Isso é a construção clássica de IC via quantity pivotal.
Passo 3
Montagem da desigualdade de probabilidade usando os quantis:
- Para nível de confiança
(ou seja, ), escolhemos os quantis simétricos e . Assim vale
- Substituindo a observação
dentro da desigualdade (tratamos como o valor observado),
Passo 4
Isolando
na desigualdade (álgebra passo a passo):
- Temos a dupla desigualdade
- Como todos os termos são positivos, podemos inverter e isolar
. Primeiro, da parte direita:
- Da parte esquerda:
- Combinando as duas desigualdades obtemos o intervalo para
:
- Tomando raiz quadrada em toda a cadeia (raiz positiva porque
), obtemos o intervalo para :
Passo 5
Substituição dos números e cálculo numérico (mostrando as contas para fazer à mão):
- Substituindo
, e :
- Calcule a raiz quadrada de
:
Logo
- Calcule a raiz quadrada de
:
Logo
- Portanto, com duas ou três casas decimais, o intervalo de confiança de
para é aproximadamente
Passo 6
Interpretação prática e incentivo (breve, para ajudar a entender o que isso significa):
- O intervalo ficou muito largo porque foi construída a partir de apenas uma observação; intuitivamente, com tão pouca informação o parâmetro
pode variar bastante e ainda ser compatível com a observação . - Não se assuste com a faixa extensa: com mais observações o intervalo encolhe. Você fez certo ao usar o pivot
e os quantis da . - Boa! Esse é exatamente o procedimento que se espera numa prova quando se dá a relação pivotal e os quantis da
.