A altura de ondas em oceanografia segue uma distribuição de Rayleigh com parâmetro \sigma. Sabe-se que se X \sim Rayleigh (\sigma), então Q=\frac{X^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi_{2}^{2} (Qui-quadrado com 2 graus de liberdade). Se observarmos uma única onda com x=4 metros, monte o IC de 95 \% para o parâmetro \sigma. (Dados: \chi_{2 ; 0,025}^{2}=0,05 e \chi_{2 ; 0,975}^{2}=7,38 ).

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (peguei tudo do enunciado):
  • Foi dada a suposição de que a altura de ondas X segue a distribuição de Rayleigh com parâmetro \sigma.
  • Foi informada a relação conhecida: se X\sim Rayleigh (\sigma) então
Q=\frac{X^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}_{2}.
  • Observou-se uma única onda com valor x=4 metros.
  • O enunciado pede: montar o intervalo de confiança de 95\% para o parâmetro \sigma.
  • Foram fornecidos os quantis da qui-quadrado com 2 graus de liberdade:
\chi^{2}_{2;0,025}=0,05,\qquad \chi^{2}_{2;0,975}=7,38.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática do que vamos usar — sem pular etapas):
  • Queremos um intervalo de confiança para \sigma. Uma maneira padrão é usar uma quantidade pivotal: uma função dos dados e do parâmetro cuja distribuição não depende do parâmetro. Aqui a quantidade pivotal é
Q=\frac{X^{2}}{\sigma^{2}},
porque a distribuição de Q é \chi^{2}_{2} e não depende de \sigma.
  • Se temos uma observação X=x, podemos colocar probabilisticamente os quantis da \chi^{2}_{2} em torno de Q para obter um intervalo para \sigma. Isso é a construção clássica de IC via quantity pivotal.

Passo 3

Montagem da desigualdade de probabilidade usando os quantis:
  • Para nível de confiança 1-\alpha=0,95 (ou seja, \alpha=0,05), escolhemos os quantis simétricos \chi^{2}_{2;0,025} e \chi^{2}_{2;0,975}. Assim vale
P\!\left(\chi^{2}_{2;0,025} \le \frac{X^{2}}{\sigma^{2}} \le \chi^{2}_{2;0,975}\right)=0,95.
  • Substituindo a observação X=x dentro da desigualdade (tratamos x como o valor observado),
P\!\left(\chi^{2}_{2;0,025} \le \frac{x^{2}}{\sigma^{2}} \le \chi^{2}_{2;0,975}\right)=0,95.

Passo 4

Isolando \sigma^{2} na desigualdade (álgebra passo a passo):
  • Temos a dupla desigualdade
\chi^{2}_{2;0,025} \le \frac{x^{2}}{\sigma^{2}} \le \chi^{2}_{2;0,975}.
  • Como todos os termos são positivos, podemos inverter e isolar \sigma^{2}. Primeiro, da parte direita:
\frac{x^{2}}{\sigma^{2}} \le \chi^{2}_{2;0,975} \qquad\Rightarrow\qquad \sigma^{2} \ge \frac{x^{2}}{\chi^{2}_{2;0,975}}.
  • Da parte esquerda:
\chi^{2}_{2;0,025} \le \frac{x^{2}}{\sigma^{2}} \qquad\Rightarrow\qquad \sigma^{2} \le \frac{x^{2}}{\chi^{2}_{2;0,025}}.
  • Combinando as duas desigualdades obtemos o intervalo para \sigma^{2}:
\frac{x^{2}}{\chi^{2}_{2;0,975}} \le \sigma^{2} \le \frac{x^{2}}{\chi^{2}_{2;0,025}}.
  • Tomando raiz quadrada em toda a cadeia (raiz positiva porque \sigma>0), obtemos o intervalo para \sigma:
\frac{x}{\sqrt{\chi^{2}_{2;0,975}}} \le \sigma \le \frac{x}{\sqrt{\chi^{2}_{2;0,025}}}.

Passo 5

Substituição dos números e cálculo numérico (mostrando as contas para fazer à mão):
  • Substituindo x=4, \chi^{2}_{2;0,975}=7,38 e \chi^{2}_{2;0,025}=0,05:
\text{limite inferior}=\frac{4}{\sqrt{7,38}},\qquad \text{limite superior}=\frac{4}{\sqrt{0,05}}.
  • Calcule a raiz quadrada de 7,38:
\sqrt{7,38}\approx 2,717\quad\text{(pois }2,717^{2}\approx 7,38\text{)}.
Logo
\frac{4}{\sqrt{7,38}}\approx \frac{4}{2,717}\approx 1,472.
  • Calcule a raiz quadrada de 0,05:
\sqrt{0,05}\approx 0,223607\quad\text{(pois }0,223607^{2}=0,05\text{)}.
Logo
\frac{4}{\sqrt{0,05}}\approx \frac{4}{0,223607}\approx 17,889.
  • Portanto, com duas ou três casas decimais, o intervalo de confiança de 95\% para \sigma é aproximadamente
1,472 \le \sigma \le 17,889\\ \text{(metros)}.

Passo 6

Interpretação prática e incentivo (breve, para ajudar a entender o que isso significa):
  • O intervalo ficou muito largo porque foi construída a partir de apenas uma observação; intuitivamente, com tão pouca informação o parâmetro \sigma pode variar bastante e ainda ser compatível com a observação x=4.
  • Não se assuste com a faixa extensa: com mais observações o intervalo encolhe. Você fez certo ao usar o pivot \dfrac{X^{2}}{\sigma^{2}} e os quantis da \chi^{2}.
  • Boa! Esse é exatamente o procedimento que se espera numa prova quando se dá a relação pivotal e os quantis da \chi^{2}.

Resposta

\displaystyle \sigma \in \left[1,472,\;17,889\right]

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