A distribuição do peso, de uma certa população de pessoas, pode ser modelada como uma v.a. Normal com média 75 Kg e desvio padrão de 7 Kg .
Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso desta população vir a pesar entre 74 e 77 Kg ?
Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso desta população vir a pesar entre 74 e 77 Kg ?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (em forma bem clara):
- A variável aleatória peso
segue uma distribuição Normal com média kg e desvio padrão kg. - A pergunta é: qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso pesar entre
e kg, isto é, calcular .
Passo 2
Ideia do método que vamos usar (explicação didática):
- Para trabalhar com probabilidades de uma Normal qualquer é muito comum transformar para a Normal padrão, que tem média
e desvio . Isso facilita porque existe uma tabela (ou função) única que dá probabilidades acumuladas para a Normal padrão. - A transformação é a seguinte: se
é , então
é uma variável com distribuição Normal padrão, ou seja
.
- Depois, uma probabilidade do tipo
vira
onde
é a função de distribuição da Normal padrão.
- Vou aplicar essa transformação passo a passo e depois buscar os valores de
numa tabela da Normal padrão (usando simetria para valores negativos).
Passo 3
Calcular as pontuações
para os limites
e
:
- Para
:
- Para
:
(Para facilitar leitura, vou trabalhar com quatro ou cinco casas decimais quando precisar interpolar na tabela.)
Passo 4
Expressar a probabilidade desejada em termos de
:
Usamos a propriedade de simetria da Normal padrão:
Logo
e então
Passo 5
Avaliar
usando tabela da Normal padrão (explicando como fazer):
- Nas tabelas usuais da Normal padrão (que dão
para ) temos, entre outros: -
Vou interpolar linearmente para os valores intermediários que precisamos:
- Para
(entre e ): - distância relativa dentro do intervalo
. - então
- distância relativa dentro do intervalo
- Para
(entre e ): - distância relativa
. - então
- distância relativa
Passo 6
Calcular a probabilidade final e interpretar:
- Usando os valores aproximados:
- Arredondando de maneira usual, isso dá aproximadamente
, ou seja . - Interpretação: escolhendo uma pessoa ao acaso dessa população, a chance de ela pesar entre
e kg é cerca de . Não é muito alta porque o intervalo tem largura apenas kg em torno da média, enquanto o desvio padrão é kg (relativamente grande).