A distribuição do peso, de uma certa população de pessoas, pode ser modelada como uma v.a. Normal com média 75 Kg e desvio padrão de 7 Kg .
Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso desta população vir a pesar entre 74 e 77 Kg ?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (em forma bem clara):
  • A variável aleatória peso X segue uma distribuição Normal com média \mu=75 kg e desvio padrão \sigma=7 kg.
  • A pergunta é: qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso pesar entre 74 e 77 kg, isto é, calcular P(74 \le X \le 77).

Passo 2

Ideia do método que vamos usar (explicação didática):
  • Para trabalhar com probabilidades de uma Normal qualquer é muito comum transformar para a Normal padrão, que tem média 0 e desvio 1. Isso facilita porque existe uma tabela (ou função) única \Phi que dá probabilidades acumuladas para a Normal padrão.
  • A transformação é a seguinte: se X é N(\mu,\sigma^2), então
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
é uma variável com distribuição Normal padrão, ou seja Z\sim N(0,1).
  • Depois, uma probabilidade do tipo P(a\le X\le b) vira
P\!\big(a\le X\le b\big)=P\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\le Z\le\frac{b-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right),
onde \Phi(z)=P(Z\le z) é a função de distribuição da Normal padrão.
  • Vou aplicar essa transformação passo a passo e depois buscar os valores de \Phi numa tabela da Normal padrão (usando simetria para valores negativos).

Passo 3

Calcular as pontuações z para os limites 74 e 77:
  • Para a=74:
z_a=\frac{74-\mu}{\sigma}=\frac{74-75}{7}=\frac{-1}{7}=-0{,}142857\ldots
  • Para b=77:
z_b=\frac{77-\mu}{\sigma}=\frac{77-75}{7}=\frac{2}{7}=0{,}285714\ldots
(Para facilitar leitura, vou trabalhar com quatro ou cinco casas decimais quando precisar interpolar na tabela.)

Passo 4

Expressar a probabilidade desejada em termos de \Phi:
P(74\le X\le 77)=\Phi(z_b)-\Phi(z_a)=\Phi\!\left(0{,}285714\right)-\Phi\!\left(-0{,}142857\right).
Usamos a propriedade de simetria da Normal padrão:
\Phi(-z)=1-\Phi(z).
Logo
\Phi\!\left(-0{,}142857\right)=1-\Phi\!\left(0{,}142857\right),
e então
P(74\le X\le 77)=\Phi\!\left(0{,}285714\right)-\big[1-\Phi\!\left(0{,}142857\right)\big]=\Phi\!\left(0{,}285714\right)+\Phi\!\left(0{,}142857\right)-1.

Passo 5

Avaliar \Phi usando tabela da Normal padrão (explicando como fazer):
  • Nas tabelas usuais da Normal padrão (que dão \Phi(z) para z\ge0) temos, entre outros:
    • \Phi(0{,}28)=0{,}6103
    • \Phi(0{,}29)=0{,}6141
    • \Phi(0{,}14)=0{,}5557
    • \Phi(0{,}15)=0{,}5596
Vou interpolar linearmente para os valores intermediários que precisamos:
  • Para z=0{,}285714 (entre 0{,}28 e 0{,}29):
    • distância relativa dentro do intervalo = \dfrac{0{,}285714-0{,}28}{0{,}01}=0{,}5714.
    • então
    \Phi(0{,}285714)\approx 0{,}6103 + 0{,}5714\cdot(0{,}6141-0{,}6103) =0{,}6103 + 0{,}5714\cdot 0{,}0038 =0{,}6103 + 0{,}002171 =0{,}612471\\ (\text{aprox.}).
  • Para z=0{,}142857 (entre 0{,}14 e 0{,}15):
    • distância relativa = \dfrac{0{,}142857-0{,}14}{0{,}01}=0{,}2857.
    • então
    \Phi(0{,}142857)\approx 0{,}5557 + 0{,}2857\cdot(0{,}5596-0{,}5557) =0{,}5557 + 0{,}2857\cdot 0{,}0039 =0{,}5557 + 0{,}001114 =0{,}556814\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Calcular a probabilidade final e interpretar:
  • Usando os valores aproximados:
P(74\le X\le 77)\approx 0{,}612471 + 0{,}556814 - 1 = 0{,}169285.
  • Arredondando de maneira usual, isso dá aproximadamente 0{,}1693, ou seja 16{,}93\%.
  • Interpretação: escolhendo uma pessoa ao acaso dessa população, a chance de ela pesar entre 74 e 77 kg é cerca de 17\%. Não é muito alta porque o intervalo tem largura apenas 3 kg em torno da média, enquanto o desvio padrão é 7 kg (relativamente grande).

Resposta

0{,}1693 \approx 16{,}93\%

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