A distribuição dos salários (em salários mínimos) de operários do sexo masculino de uma grande fábrica é N(5,4 ; 1,69), e a de operários do sexo feminino é N(5,4 ; 2,25). Sorteiam-se duas amostras, uma com 16 homens e outra com 16 mulheres. Se D for a diferença entre o salário médio dos homens e das mulheres:
a) Calcule P(|D|>0,5);
b) Qual o valor de d tal que P(|D|>d)=0,05 ?
c) Que tamanho comum deveriam ter ambas as amostras para que P(|D|>4)= 0,05 ?.

Passo 1

O enunciado diz que os salários masculinos seguem \mathcal{N}(5{,}4,\,1{,}69) e os femininos seguem \mathcal{N}(5{,}4,\,2{,}25). Sorteiam-se amostras independentes de tamanho n_h=16 (homens) e n_f=16 (mulheres) e definimos
D = \overline X_h - \overline X_f
onde \overline X_h e \overline X_f são as médias amostrais. O conteúdo é distribuição da diferença de médias de populações normais.

Passo 2

Como \overline X_h\sim \mathcal{N}\bigl(\mu_h,\,\sigma_h^2/n_h\bigr) e \overline X_f\sim \mathcal{N}\bigl(\mu_f,\,\sigma_f^2/n_f\bigr) independentes, temos
D\sim \mathcal{N}\bigl(\mu_h-\mu_f,\;\tfrac{\sigma_h^2}{n_h}+\tfrac{\sigma_f^2}{n_f}\bigr).
Aqui \mu_h=\mu_f=5{,}4, \sigma_h^2=1{,}69, \sigma_f^2=2{,}25, n_h=n_f=16. Logo
\mu_D = 0, \qquad \sigma_D^2 = \frac{1{,}69}{16} + \frac{2{,}25}{16} = \frac{3{,}94}{16} = 0{,}24625,
\sigma_D = \sqrt{0{,}24625}\approx 0{,}49624.

Passo 3

Para (a) queremos
P\bigl(|D|>0,5\bigr) =2\Bigl(1-\Phi\bigl(\tfrac{0,5}{\sigma_D}\bigr)\Bigr) =2\Bigl(1-\Phi(1{,}0076)\Bigr).
Como \Phi(1{,}0076)\approx0{,}843, resulta
P\bigl(|D|>0,5\bigr)\approx 2\,(1-0{,}843)=0{,}314.

Passo 4

Para (b) achamos d tal que
P\bigl(|D|>d\bigr)=0,05 \quad\Longrightarrow\quad 2\bigl(1-\Phi(\tfrac{d}{\sigma_D})\bigr)=0,05 \quad\Longrightarrow\quad \Phi\bigl(\tfrac{d}{\sigma_D}\bigr)=0,975.
Isto dá \tfrac{d}{\sigma_D}=1{,}96, logo
d = 1{,}96\,\sigma_D \approx 1{,}96\times0{,}49624 = 0{,}973.

Passo 5

Para (c) queremos n comum em ambas amostras tal que
P\bigl(|D|>4\bigr)=0,05.
Agora \sigma_D = \sqrt{\tfrac{1{,}69+2{,}25}{n}}=\sqrt{\tfrac{3{,}94}{n}}. Assim
2\Bigl(1-\Phi\bigl(\tfrac{4}{\sigma_D}\bigr)\Bigr)=0,05 \;\Longrightarrow\; \tfrac{4}{\sigma_D}=1{,}96 \;\Longrightarrow\; 4\,\sqrt{\tfrac{n}{3{,}94}}=1{,}96
\sqrt{\tfrac{n}{3{,}94}}=0{,}49 \;\Longrightarrow\; n = 3{,}94\times(0{,}49)^2 \approx 0{,}95.
Como n deve ser inteiro e mínimo igual a 1, basta n=1.

Resposta

a) P(|D|>0,5)\approx0{,}314
b) d\approx0{,}973
c) n\approx0{,}95, portanto n=1 amostra em cada grupo.

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