1. (Distribuição da Soma) Seja X a variável aleatória que representa a soma das faces dos dois dados.
    a) Construa a função de probabilidade P(X=x) para todos os valores possíveis de X.
    b) Calcule P(6<X<9).
    c) Calcule a Esperança Matemática E(X). Como este valor se relaciona com a média de um único dado?
    d) Determine a Variância \operatorname{Var}(X).
    e) P(X \geq 10).
    f) P(4<X \leq 8).
    g) P(X é par \mid X>7).

Passo 1

O enunciado e os dados do problema:
  • Lançam-se dois dados honestos e independentes; cada dado tem faces \{1,2,3,4,5,6\} igualmente prováveis.
  • Define-se a variável aleatória X como a soma das faces observadas nos dois dados.
O que o exercício pede:
a) Construir a função de probabilidade P(X=x) para todos os valores possíveis de X.
b) Calcular P(6<X<9).
c) Calcular a Esperança Matemática E(X) e relacionar esse valor com a média de um único dado.
d) Determinar a Variância \operatorname{Var}(X).
e) Calcular P(X \geq 10).
f) Calcular P(4<X \leq 8).
g) Calcular P(X \text{ é par} \mid X>7)é.

Passo 2

Construir a função de probabilidade P(X=x). Explicação didática do raciocínio: para dois dados independentes e equiprováveis há 6\times6=36 resultados possíveis (pares ordenados (i,j) com i,j\in\{1,\dots,6\}). Para cada soma s contamos quantos pares (i,j) satisfazem i+j=s. Esses contagens são clássicas e simétricas em torno de 7.
Contagens por soma s:
\begin{aligned} s=2&:\\\ 1\\ \text{maneira} &&(1,1)\\\ s=3&:\\\ 2\\ \text{maneiras} &&(1,2),(2,1)\\\ s=4&:\\\ 3\\ \text{maneiras} &&(1,3),(2,2),(3,1)\\\ s=5&:\\\ 4\\ \text{maneiras}\\\ s=6&:\\\ 5\\ \text{maneiras}\\\ s=7&:\\\ 6\\ \text{maneiras}\\\ s=8&:\\\ 5\\ \text{maneiras}\\\ s=9&:\\\ 4\\ \text{maneiras}\\\ s=10&:\\\ 3\\ \text{maneiras}\\\ s=11&:\\\ 2\\ \text{maneiras}\\\ s=12&:\\\ 1\\ \text{maneira} \end{aligned}
Como cada par tem probabilidade \tfrac{1}{36}, obtemos a função de probabilidade:
P(X=s)=\frac{\text{nº de maneiras que dão }s}{36}.ºã
Vou escrever explicitamente P(X=s) para s=2,\dots,12 no próximo passo de forma clara (isto responde ao item (a)).

Passo 3

Resposta do item (a) (escrita explicitamente): para x\in\{2,3,\dots,12\},
\begin{aligned} P(X=2)&=\frac{1}{36}, & P(X=3)&=\frac{2}{36}, & P(X=4)&=\frac{3}{36}, \\\ P(X=5)&=\frac{4}{36}, & P(X=6)&=\frac{5}{36}, & P(X=7)&=\frac{6}{36}, \\\ P(X=8)&=\frac{5}{36}, & P(X=9)&=\frac{4}{36}, & P(X=10)&=\frac{3}{36}, \\\ P(X=11)&=\frac{2}{36}, & P(X=12)&=\frac{1}{36}. \end{aligned}
Isto é a função de massa de probabilidade de X. (Verificação rápida: somando os numeradores 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36, logo soma das probabilidades =1.)

Passo 4

Calcular P(6<X<9) (item b). Interpretação: 6<X<9 significa X\in\{7,8\}. Usando a PMF:
P(6<X<9)=P(X=7)+P(X=8)=\frac{6}{36}+\frac{5}{36}=\frac{11}{36}.

Passo 5

Calcular E(X) (item c). Vou ensinar duas maneiras e relacionar com a média de um dado:
Método 1 — linearidade da esperança (mais simples e prático):
Seja D_1 a face do primeiro dado e D_2 a do segundo. Então X=D_1+D_2. Para variáveis aleatórias quaisquer vale a linearidade:
E(X)=E(D_1)+E(D_2).
Para um dado honesto com valores 1,\dots,6,
E(D)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}.
Portanto
E(X)=\frac{7}{2}+\frac{7}{2}=7.
Método 2 — pela PMF de X (confirmação):
E(X)=\sum_{s=2}^{12}s\,P(X=s)=\frac{1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + \cdots + 1\cdot 12}{36},
que também dá 7 (não preciso fazer a soma explícita aqui porque o método 1 é imediato).
Relação com a média de um único dado: E(X)=2\cdot E(D)=2\cdot \tfrac{7}{2}=7. Ou seja, a esperança da soma é a soma das esperanças; a média de um dado é \tfrac{7}{2} e a média da soma de dois dados é o dobro disso.

Passo 6

Calcular a variância \operatorname{Var}(X) (item d). Primeiro explico conceitos e fórmulas que vou usar:
Definição e fórmulas úteis:
  • Para qualquer variável Y, \operatorname{Var}(Y)=E\big((Y-E(Y))^2\big)=E(Y^2)-[E(Y)]^2.
  • Se Y_1 e Y_2 são independentes, então \operatorname{Var}(Y_1+Y_2)=\operatorname{Var}(Y_1)+\operatorname{Var}(Y_2).
Aqui X=D_1+D_2 com D_1,D_2 independentes e identicamente distribuídos. Assim
\operatorname{Var}(X)=\operatorname{Var}(D_1)+\operatorname{Var}(D_2)=2\operatorname{Var}(D).
Calcular \operatorname{Var}(D) para um dado:
E(D)=\frac{7}{2}.
Calcular E(D^2):
E(D^2)=\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}.
Logo
\operatorname{Var}(D)=E(D^2)-[E(D)]^2=\frac{91}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2.
Calculo numérico com denominadores comuns:
\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{182-147}{12}=\frac{35}{12}.
Portanto
\operatorname{Var}(X)=2\cdot\frac{35}{12}=\frac{35}{6}.
Se quiser aproximação decimal: \frac{35}{6}\approx 5,8333.

Passo 7

Calcular P(X\geq10) (item e). Usando a PMF:
P(X\geq10)=P(X=10)+P(X=11)+P(X=12)=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}+\frac{1}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.

Passo 8

Calcular P(4<X\leq 8) (item f). Interpretação: 4<X\leq 8 significa X\in\{5,6,7,8\}. Usando a PMF:
P(4<X\leq 8)=\frac{4}{36}+\frac{5}{36}+\frac{6}{36}+\frac{5}{36}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}.

Passo 9

Calcular P(X \text{ é par} \mid X>7)é (item g). Primeiro recordo a fórmula de probabilidade condicional: para eventos A e B com P(B)>0,
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Aqui A=\{\text{\(X é par}}) e B=\{X>7\}=\{8,9,10,11,12\}.
Calcular P(B)=P(X>7)=P(8)+P(9)+P(10)+P(11)+P(12). Usando a PMF:
P(B)=\frac{5+4+3+2+1}{36}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}.
Calcular P(A\cap B)=P(X\in\{8,10,12\}):
P(A\cap B)=\frac{5+3+1}{36}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}.
Logo
P(X\text{ é par}\mid X>7)=\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{5}{12}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{12}{5}=\frac{3}{5}.é
Em decimal é 0,6 (ou seja 60\%).

Resposta

(a) P(X=2)=\dfrac{1}{36},\\ P(X=3)=\dfrac{2}{36},\\ P(X=4)=\dfrac{3}{36},\\ P(X=5)=\dfrac{4}{36},\\ P(X=6)=\dfrac{5}{36},
\;P(X=7)=\dfrac{6}{36},\\ P(X=8)=\dfrac{5}{36},\\ P(X=9)=\dfrac{4}{36},\\ P(X=10)=\dfrac{3}{36},\\ P(X=11)=\dfrac{2}{36},\\ P(X=12)=\dfrac{1}{36}.
(b) \dfrac{11}{36}.
(c) E(X)=7. (Note que E(X)=2\cdot E(\text{um dado})=2\cdot \tfrac{7}{2}=7.)
(d) \operatorname{Var}(X)=\dfrac{35}{6} (aprox. 5,8333).
(e) \dfrac{1}{6}.
(f) \dfrac{5}{9}.
(g) \dfrac{3}{5}.

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