- (Distribuição da Soma) Seja
a variável aleatória que representa a soma das faces dos dois dados.
a) Construa a função de probabilidade
para todos os valores possíveis de
.
b) Calcule
.
c) Calcule a Esperança Matemática
. Como este valor se relaciona com a média de um único dado?
d) Determine a Variância
.
e)
.
f)
.
g)
é par
.
a) Construa a função de probabilidade
b) Calcule
c) Calcule a Esperança Matemática
d) Determine a Variância
e)
f)
g)
Passo 1
O enunciado e os dados do problema:
- Lançam-se dois dados honestos e independentes; cada dado tem faces
igualmente prováveis. - Define-se a variável aleatória
como a soma das faces observadas nos dois dados.
O que o exercício pede:
a) Construir a função de probabilidade para todos os valores possíveis de
.
b) Calcular .
c) Calcular a Esperança Matemática e relacionar esse valor com a média de um único dado.
d) Determinar a Variância .
e) Calcular .
f) Calcular .
g) Calcular .
a) Construir a função de probabilidade
b) Calcular
c) Calcular a Esperança Matemática
d) Determinar a Variância
e) Calcular
f) Calcular
g) Calcular
Passo 2
Construir a função de probabilidade
. Explicação didática do raciocínio: para dois dados independentes e equiprováveis há
resultados possíveis (pares ordenados
com
). Para cada soma
contamos quantos pares
satisfazem
. Esses contagens são clássicas e simétricas em torno de
.
Contagens por soma
:
Como cada par tem probabilidade
, obtemos a função de probabilidade:
Vou escrever explicitamente
para
no próximo passo de forma clara (isto responde ao item (a)).
Passo 3
Resposta do item (a) (escrita explicitamente): para
,
Isto é a função de massa de probabilidade de
. (Verificação rápida: somando os numeradores
, logo soma das probabilidades
.)
Passo 4
Calcular
(item b). Interpretação:
significa
. Usando a PMF:
Passo 5
Calcular
(item c). Vou ensinar duas maneiras e relacionar com a média de um dado:
Método 1 — linearidade da esperança (mais simples e prático):
Seja a face do primeiro dado e
a do segundo. Então
. Para variáveis aleatórias quaisquer vale a linearidade:
Seja
Para um dado honesto com valores
,
Portanto
Método 2 — pela PMF de
(confirmação):
que também dá
(não preciso fazer a soma explícita aqui porque o método 1 é imediato).
Relação com a média de um único dado:
. Ou seja, a esperança da soma é a soma das esperanças; a média de um dado é
e a média da soma de dois dados é o dobro disso.
Passo 6
Calcular a variância
(item d). Primeiro explico conceitos e fórmulas que vou usar:
Definição e fórmulas úteis:
- Para qualquer variável
, . - Se
e são independentes, então .
Aqui
com
independentes e identicamente distribuídos. Assim
Calcular
para um dado:
Calcular
:
Logo
Calculo numérico com denominadores comuns:
Portanto
Se quiser aproximação decimal:
.
Passo 7
Calcular
(item e). Usando a PMF:
Passo 8
Calcular
(item f). Interpretação:
significa
. Usando a PMF:
Passo 9
Calcular
(item g). Primeiro recordo a fórmula de probabilidade condicional: para eventos
e
com
,
Aqui
é par}}) e
.
Calcular
. Usando a PMF:
Calcular
:
Logo
Em decimal é
(ou seja
).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(Note que
.)
(d)
(aprox.
).
(e)
(f)
(g)