Seja Y a variável aleatória definida pelo produto das faces dos dois dados (Y=i \cdot j). Nota: Lembre-se que para variáveis independentes, E(i \cdot j)=E(i). E(j).
Determine P(Y é um quadrado perfeito).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a probabilidade de que o produto das faces de dois dados seja um quadrado perfeito. Informações dadas (assumidas como padrões da questão):
  • Cada dado é justo e tem faces numeradas de 1 a 6.
  • Os dois lançamentos são independentes, logo os resultados formam pares ordenados (i,j) com i\in\{1,\dots,6\} sendo a face do primeiro dado e j\in\{1,\dots,6\} a face do segundo dado.
  • A amostra total tem 36 resultados igualmente prováveis (todos os pares ordenados).
    A pergunta específica: calcular P(\text{produto é um quadrado perfeito})é.

Passo 2

O que é um quadrado perfeito (rápida aula): um número natural n é quadrado perfeito se existe um inteiro k tal que n=k^2. Outra forma útil (que não precisaremos explorar profundamente aqui) é: para cada primo a fatorização de n deve ter expoentes pares. Vou usar a lista dos quadrados possíveis dentro do intervalo de produtos possíveis.

Passo 3

Quais produtos podem ocorrer com dois dados? O menor produto é 1 e o maior é 6\cdot6=36. Os quadrados perfeitos entre 1 e 36 são:
1,\\\ 4,\\\ 9,\\\ 16,\\\ 25,\\\ 36.

Passo 4

Agora vou listar, para cada quadrado acima, os pares ordenados (i,j) com 1\le i,j\le6 tais que i\cdot j é esse quadrado (ou seja, todos os pares favoráveis). Vou pegar explicitamente os fatores que cabem no intervalo \{1,\dots,6\}.
  • Para 1: apenas (1,1).
  • Para 4: fatores possíveis com termos \le6 são 1\cdot4, 2\cdot2, 4\cdot1, logo (1,4),(2,2),(4,1).
  • Para 9: apenas 3\cdot3, logo (3,3).
  • Para 16: apenas 4\cdot4, logo (4,4).
  • Para 25: apenas 5\cdot5, logo (5,5).
  • Para 36: apenas 6\cdot6, logo (6,6).
Reunindo todos os pares favoráveis:
(1,1),\\ (1,4),\\ (4,1),\\ (2,2),\\ (3,3),\\ (4,4),\\ (5,5),\\ (6,6).

Passo 5

Contagem e probabilidade:
  • Número de resultados favoráveis = 8.
  • Número de resultados possíveis (espaço amostral) = 36.
    A probabilidade é
P=\frac{8}{36}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 4:
P=\frac{2}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{9}

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