Seja
a variável aleatória definida pelo produto das faces dos dois dados
. Nota: Lembre-se que para variáveis independentes,
.
.
Determine
é um quadrado perfeito).
Determine
Passo 1
O enunciado pede para determinar a probabilidade de que o produto das faces de dois dados seja um quadrado perfeito. Informações dadas (assumidas como padrões da questão):
- Cada dado é justo e tem faces numeradas de
a . - Os dois lançamentos são independentes, logo os resultados formam pares ordenados
com sendo a face do primeiro dado e a face do segundo dado. - A amostra total tem
resultados igualmente prováveis (todos os pares ordenados).
A pergunta específica: calcular.
Passo 2
O que é um quadrado perfeito (rápida aula): um número natural
é quadrado perfeito se existe um inteiro
tal que
. Outra forma útil (que não precisaremos explorar profundamente aqui) é: para cada primo a fatorização de
deve ter expoentes pares. Vou usar a lista dos quadrados possíveis dentro do intervalo de produtos possíveis.
Passo 3
Quais produtos podem ocorrer com dois dados? O menor produto é
e o maior é
. Os quadrados perfeitos entre
e
são:
Passo 4
Agora vou listar, para cada quadrado acima, os pares ordenados
com
tais que
é esse quadrado (ou seja, todos os pares favoráveis). Vou pegar explicitamente os fatores que cabem no intervalo
.
- Para
: apenas . - Para
: fatores possíveis com termos são , logo . - Para
: apenas , logo . - Para
: apenas , logo . - Para
: apenas , logo . - Para
: apenas , logo .
Reunindo todos os pares favoráveis:
Passo 5
Contagem e probabilidade:
- Número de resultados favoráveis =
. - Número de resultados possíveis (espaço amostral) =
.
A probabilidade é
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
: