3. Segurança do Trabalho em Refinaria:
Uma unidade de refino analisa a proficiência de
operadores em protocolos de segurança: Combate a Incêndio (C), Primeiros Socorros (S) e Contenção Química (Q).
- 30 operadores dominam os três protocolos.
- 80 dominam Incêndio (C) e Socorros (S).
- 60 dominam Socorros (S) e Química (Q).
- 120 operadores dominam exclusivamente Combate a Incêndio (C).
- 200 operadores dominam Combate a Incêndio (C) no total.
- 180 operadores dominam Primeiros Socorros (S) no total.
- 150 operadores dominam Contenção Química (Q) no total.
Sorteando um operador para a brigada de emergência, calcule a probabilidade de:
a) O operador ser especialista exclusivamente em Contenção Química (Q).
b) O operador dominar Combate a Incêndio (C) e Contenção Química (Q) simultaneamente.
c) O operador dominar Primeiros Socorros (S), dado que ele não domina Combate a Incêndio (C).
a) O operador ser especialista exclusivamente em Contenção Química (Q).
b) O operador dominar Combate a Incêndio (C) e Contenção Química (Q) simultaneamente.
c) O operador dominar Primeiros Socorros (S), dado que ele não domina Combate a Incêndio (C).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
Dados (peguei os números do enunciado):
- Total de operadores:
. -
(dominam os três). -
. -
. -
(exclusivamente Combate a Incêndio). -
(total que dominam Combate a Incêndio). -
(total que dominam Primeiros Socorros). -
(total que dominam Contenção Química).
O enunciado pede:
(a) Probabilidade do operador ser especialista exclusivamente em Contenção Química (somente ).
(b) Probabilidade do operador dominar e
simultaneamente (ou seja
).
(c) Probabilidade do operador dominar dado que ele não domina
(ou seja
).
(a) Probabilidade do operador ser especialista exclusivamente em Contenção Química (somente
(b) Probabilidade do operador dominar
(c) Probabilidade do operador dominar
Passo 2
Estratégia e notação visual (tipo diagrama de Venn). Vou dividir os conjuntos em regiões para contar certinho. Nomeio as 7 regiões disjuntas de um diagrama de três conjuntos assim:
-
número que dominam somente . -
número que dominam somente . -
número que dominam somente . -
número que dominam e mas não (ou seja exclusivo). -
número que dominam e mas não (ou seja exclusivo). -
número que dominam e mas não (ou seja exclusivo). -
número que dominam os três .
Também existe= número que não dominam nenhum protocolo.
Do enunciado já temos alguns desses em termos das letras:
-
. -
. -
significa . -
significa . -
significa . -
significa . -
significa .
E o total é
Passo 3
Calcular
(a parte de
que não inclui
).
Usando e
:
Usando
Explicação curta:
conta quem está em
incluindo quem também está em
; para obter os que estão em
mas não em
subtrai-se o triplo.
Passo 4
Calcular
(a parte de
que não inclui
).
Usando e
:
Usando
Passo 5
Calcular
(a parte de
que não inclui
). Use a equação do total de
:
Substituindo
,
,
:
Interpretação: não há operadores que dominem exatamente
e
sem também dominar
.
Passo 6
Calcular
(somente
). Use a equação do total de
:
Substituindo
,
,
:
Portanto existem
operadores que dominam exclusivamente
.
Passo 7
Calcular
(somente
). Use a equação do total de
:
Substituindo
,
,
:
Passo 8
Verificação rápida e cálculo de
(nenhum):
Somei todas as regiões conhecidas:
Somei todas as regiões conhecidas:
Como o total é
,
Tudo consistente: há
que não dominam nenhum protocolo.
Passo 9
Agora passo às probabilidades. Lembrete: a probabilidade de um evento é o número de casos favoráveis dividido pelo total
. Vou converter as contagens para probabilidades.
(a) Probabilidade de ser especialista exclusivamente em
(ou seja, somente
). Casos favoráveis =
.
Passo 10
(b) Probabilidade de dominar
e
simultaneamente (isto é
). Contagem de
é
. Encontramos
e
, então
.
Passo 11
(c) Probabilidade de dominar
dado que ele não domina
: usar definição de probabilidade condicional. Fórmula:
Explicando as parcelas:
-
é a probabilidade de dominar e não . Em contagem, são os que estão em mas fora de : isso corresponde a (somente mais exclusivo). Calculamos e , logo casos favoráveis . -
é a probabilidade de não dominar . Em contagem, .
Assim,
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)