3. Segurança do Trabalho em Refinaria:

Uma unidade de refino analisa a proficiência de \mathbf{8 0 0} operadores em protocolos de segurança: Combate a Incêndio (C), Primeiros Socorros (S) e Contenção Química (Q).
  • 30 operadores dominam os três protocolos.
  • 80 dominam Incêndio (C) e Socorros (S).
  • 60 dominam Socorros (S) e Química (Q).
  • 120 operadores dominam exclusivamente Combate a Incêndio (C).
  • 200 operadores dominam Combate a Incêndio (C) no total.
  • 180 operadores dominam Primeiros Socorros (S) no total.
  • 150 operadores dominam Contenção Química (Q) no total.
Sorteando um operador para a brigada de emergência, calcule a probabilidade de:
a) O operador ser especialista exclusivamente em Contenção Química (Q).
b) O operador dominar Combate a Incêndio (C) e Contenção Química (Q) simultaneamente.
c) O operador dominar Primeiros Socorros (S), dado que ele não domina Combate a Incêndio (C).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
Dados (peguei os números do enunciado):
  • Total de operadores: 800.
  • n(C\cap S\cap Q)=30 (dominam os três).
  • n(C\cap S)=80.
  • n(S\cap Q)=60.
  • n(\text{somente }C)=120 (exclusivamente Combate a Incêndio).
  • n\text{(C)}=200 (total que dominam Combate a Incêndio).
  • n(S)=180 (total que dominam Primeiros Socorros).
  • n(Q)=150 (total que dominam Contenção Química).
O enunciado pede:
(a) Probabilidade do operador ser especialista exclusivamente em Contenção Química (somente Q).
(b) Probabilidade do operador dominar C e Q simultaneamente (ou seja C\cap Q).
(c) Probabilidade do operador dominar S dado que ele não domina C (ou seja P(S\mid C^{c})).

Passo 2

Estratégia e notação visual (tipo diagrama de Venn). Vou dividir os conjuntos em regiões para contar certinho. Nomeio as 7 regiões disjuntas de um diagrama de três conjuntos assim:
  • a= número que dominam somente C.
  • b= número que dominam somente S.
  • c= número que dominam somente Q.
  • d= número que dominam C e S mas não Q (ou seja C\cap S exclusivo).
  • e= número que dominam C e Q mas não S (ou seja C\cap Q exclusivo).
  • f= número que dominam S e Q mas não C (ou seja S\cap Q exclusivo).
  • g= número que dominam os três C\cap S\cap Q.
    Também existe h = número que não dominam nenhum protocolo.
Do enunciado já temos alguns desses em termos das letras:
  • a=120.
  • g=30.
  • n(C\cap S)=80 significa d+g=80.
  • n(S\cap Q)=60 significa f+g=60.
  • n\text{(C)}=200 significa a+d+e+g=200.
  • n(S)=180 significa b+d+f+g=180.
  • n(Q)=150 significa c+e+f+g=150.
    E o total é
a+b+c+d+e+f+g+h=800.

Passo 3

Calcular d (a parte de C\cap S que não inclui Q).
Usando d+g=80 e g=30:
d = 80 - g = 80 - 30 = 50.
Explicação curta: n(C\cap S) conta quem está em C\cap S incluindo quem também está em Q; para obter os que estão em C\cap S mas não em Q subtrai-se o triplo.

Passo 4

Calcular f (a parte de S\cap Q que não inclui C).
Usando f+g=60 e g=30:
f = 60 - g = 60 - 30 = 30.

Passo 5

Calcular e (a parte de C\cap Q que não inclui S). Use a equação do total de C:
a+d+e+g = n\text{(C)}=200.
Substituindo a=120, d=50, g=30:
120 + 50 + e + 30 = 200 \quad\Rightarrow\quad 200 + e = 200 \quad\Rightarrow\quad e = 0.
Interpretação: não há operadores que dominem exatamente C e Q sem também dominar S.

Passo 6

Calcular c (somente Q). Use a equação do total de Q:
c+e+f+g = n(Q)=150.
Substituindo e=0, f=30, g=30:
c + 0 + 30 + 30 = 150 \quad\Rightarrow\quad c = 150 - 60 = 90.
Portanto existem 90 operadores que dominam exclusivamente Q.

Passo 7

Calcular b (somente S). Use a equação do total de S:
b+d+f+g = n(S)=180.
Substituindo d=50, f=30, g=30:
b + 50 + 30 + 30 = 180 \quad\Rightarrow\quad b = 180 - 110 = 70.

Passo 8

Verificação rápida e cálculo de h (nenhum):
Somei todas as regiões conhecidas:
a+b+c+d+e+f+g = 120 + 70 + 90 + 50 + 0 + 30 + 30 = 390.
Como o total é 800,
h = 800 - 390 = 410.
Tudo consistente: há 410 que não dominam nenhum protocolo.

Passo 9

Agora passo às probabilidades. Lembrete: a probabilidade de um evento é o número de casos favoráveis dividido pelo total 800. Vou converter as contagens para probabilidades.
(a) Probabilidade de ser especialista exclusivamente em Q (ou seja, somente Q). Casos favoráveis = c=90.
P(\text{somente }Q)=\frac{90}{800}=\frac{9}{80}=0,1125=11{,}25\%.

Passo 10

(b) Probabilidade de dominar C e Q simultaneamente (isto é C\cap Q). Contagem de C\cap Q é e+g. Encontramos e=0 e g=30, então n(C\cap Q)=30.
P(C\cap Q)=\frac{30}{800}=\frac{3}{80}=0,0375=3{,}75\%.

Passo 11

(c) Probabilidade de dominar S dado que ele não domina C: usar definição de probabilidade condicional. Fórmula:
P(S\mid C^{c})=\frac{P(S\cap C^{c})}{P(C^{c})}.
Explicando as parcelas:
  • P(S\cap C^{c}) é a probabilidade de dominar S e não C. Em contagem, são os que estão em S mas fora de C: isso corresponde a b+f (somente S mais S\cap Q exclusivo). Calculamos b=70 e f=30, logo casos favoráveis =70+30=100.
  • P(C^{c}) é a probabilidade de não dominar C. Em contagem, 800-n\text{(C)}=800-200=600.
Assim,
P(S\mid C^{c})=\frac{100/800}{600/800}=\frac{100}{600}=\frac{1}{6}\approx 0,166\overline{6}=16{,}66\ldots\%.

Resposta

(a) \dfrac{9}{80}=0,1125=11{,}25\%
(b) \dfrac{3}{80}=0,0375=3{,}75\%
(c) \dfrac{1}{6}\approx0,166\overline{6}=16{,}66\ldots\%

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