Controle de Qualidade de Semicondutores:
Em um lote de 2.000 microchips, a inspeção analisa três tipos de falhas: Térmica (T), Voltagem (V) e Física (F). O relatório indica:
- 10 chips apresentam os três defeitos.
- 30 chips apresentam defeitos de V e F.
- 40 chips apresentam defeitos de T e F.
- 25 chips apresentam defeitos de T e V.
- 100 chips possuem falhas Térmicas (T) no total.
- 110 chips possuem falhas de Voltagem (V) no total.
- 90 chips possuem falhas Físicas (F) no total.
Ao retirar um chip ao acaso, determine a probabilidade de:
a) O chip apresentar apenas falha de Voltagem (V).
b) O chip ser classificado como conforme (não apresentar nenhuma das três falhas).
a) O chip apresentar apenas falha de Voltagem (V).
b) O chip ser classificado como conforme (não apresentar nenhuma das três falhas).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados (peguei todos os números do enunciado):
- Total de chips:
. - Chips com os três defeitos
, e : . - Chips com
e : . (este número inclui os 10 que têm os três defeitos) - Chips com
e : . (inclui os 10 com os três) - Chips com
e : . (inclui os 10 com os três) - Chips com falha térmica:
. - Chips com falha de voltagem:
. - Chips com falha física:
.
O enunciado pede:
a) A probabilidade de o chip apresentar somente falha de voltagem (apenas ).
b) A probabilidade de o chip não apresentar nenhuma das três falhas (ser conforme).
a) A probabilidade de o chip apresentar somente falha de voltagem (apenas
b) A probabilidade de o chip não apresentar nenhuma das três falhas (ser conforme).
Passo 2
Conceito e fórmula para "apenas
" (explicação didática).
- "Apenas
" significa que o chip pertence ao conjunto e NÃO pertence a nem a . - Contagem: começamos com todos os chips em
, subtraímos os que também têm e os que também têm . Porém, os chips que têm os três defeitos foram subtraídos duas vezes (uma vez em e outra em ), então precisamos adicioná-los de volta uma vez. - Fórmula (princípio da inclusão-exclusão simplificado para "só
"):
Explicando cada termo:
-
é o total com voltagem. -
e são os que também têm outro defeito (que não devem ser contados como "só "). -
corrige a dupla subtração dos que têm os três defeitos.
Passo 3
Aplicando a fórmula para contar quantos são "apenas
" usando os números dados:
Substituindo:
Substituindo:
Agora faço a conta passo a passo:
Portanto há
chips que apresentam somente falha de voltagem.
Passo 4
Converter a contagem em probabilidade (explicação didática).
- Probabilidade de um evento é a razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos igualmente prováveis.
- Aqui os chips são equiprováveis, então:
Faço a simplificação numérica:
(Usei vírgula como separador decimal conforme pedido.)
Passo 5
Conceito e fórmula para “nenhuma das três falhas” (explicação didática).
- “Nenhuma das três” é o complementar de “pelo menos uma falha”.
- Primeiro vamos calcular
, o número com pelo menos uma das falhas, usando a fórmula de inclusão-exclusão para três conjuntos:
Explicando os termos:
- Soma simples
conta tudo, mas os elementos em interseções são contados múltiplas vezes, por isso subtrai-se as interseções de dois a dois; então soma-se a interseção tripla porque ela foi subtraída três vezes e precisava ser adicionada uma vez.
Passo 6
Calcular
passo a passo com os números fornecidos:
Primeiro a soma das simples:
Primeiro a soma das simples:
Soma das interseções de pares:
Agora aplico a fórmula:
Faço as contas:
Logo,
. Isso significa que
chips têm pelo menos uma das três falhas.
Passo 7
Encontrar quantos não têm nenhuma falha e a probabilidade correspondente (passo a passo).
- Número de chips sem nenhuma das falhas = total
número com pelo menos uma falha:
- Probabilidade:
Faço a conta decimal: