A distribuição de temperatura através de uma parede de 1 m de espessura num dado instante de tempo é dada por:
T(x)=500-300 x-10 x^2
Em que a temperatura está em graus Celsius ex em metros. A parede gera calor uniforme igual a q=800 W / m^3, e sua área é de 12 m^2, com as seguintes propriedades: rho=1800 kg / m^3, k=25 W /(m cdot K) e Cp=2,5 kJ /(kg cdot K).
Calcule a taxa de variação de energia armazenada na parede.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma parede de 1 m de espessura com distribuição de temperatura no instante considerado dada por
T(x)=500 - 300,x -10,x^2,
onde dEdt = Qrm >=rada + Qrm entrada,cond - Qrm saída,cond está em metros e em °C. A parede gera calor uniformemente a uma taxa ,W/m³, tem área ,m² e propriedades:
,kg/m³,
,W/(m·K),
,kJ/(kg·K) = ,J/(kg·K).
Conteúdo da matéria: balanço de energia em condução 1D com geração interna. Para resolver vamos precisar de:
  1. calcular a geração total de calor;
  2. calcular os fluxos de calor por condução nas faces e (lei de Fourier);
  3. aplicar o balanço de energia:
í

Passo 2

Calcular a geração interna total de calor. Como a geração é V = A cdot L = 12,m^2 times 1,m = 12,m^3 em W/m³, o volume da parede é
Qrm >=rada = q ,V = 800;l[tfracrm Wrm m^3r]times12,[rm m^3] = 9600;rm W
Então

Passo 3

Agora os fluxos de calor por condução nas faces. A lei de Fourier em 1D diz
qx(x) = -k,A,dTdx
Primeiro calcule qx(0) = -,25,rm W/(mK)times12,m^2times(-300,tfracKm) = +90,000;rm W
  • Em qx(1) = -,25times12times(-320) = +96,000;rm W : . Então
(positivo significa calor entrando).
  • Em : . Então
(aqui positivo também, mas é o calor saindo para a face direita).

Passo 4

Fazendo o balanço de energia na parede:
dEdt = Qrm >=rada + Qrm entrada,cond - Qrm saída,cond = 9600 + (90,000) - (96,000) = 9600 -6000 = 3600;rm W í

Resposta

A taxa de variação de energia armazenada na parede é de ,W.

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