A distribuição de temperatura num fluido é dado por
\mathrm{T}=(15 \mathrm{x}) \mathrm{i}+(8 \mathrm{y}) \mathrm{j}, onde x e y são respectivamente, as coordenadas horizontal e vertical medidas em metros e \mathrm{Tem}{ }^{\circ} \mathrm{C}. Determine:
a taxa de variação da temperatura de uma particula fluida que se desloca verticalmente com v =30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição escalar de temperatura no fluido
T(x,y)=15x+8y
em ^\circ\!C, e pede a variação de T acompanhando uma partícula que se move verticalmente com velocidade v=30\ m/s. Isso é um caso de derivada material ou derivada direcional de T na direção da velocidade.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de T:
\frac{\partial T}{\partial x}=15, \quad \frac{\partial T}{\partial y}=8.

Passo 3

A partícula se desloca verticalmente com velocidade escalar 30\ m/s, logo o vetor velocidade é
\mathbf v=(0,30).

Passo 4

A taxa de variação de T ao longo do movimento é dado por
\frac{dT}{dt} =\nabla T\cdot\mathbf v =\Bigl(\frac{\partial T}{\partial x},\,\frac{\partial T}{\partial y}\Bigr)\cdot(0,30) =15\cdot0+8\cdot30=240.

Resposta

A temperatura da partícula aumenta a 240\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}.

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