O vetor velocidade de um escoamento é dado por V=\left(x^{3}\right) \hat{\imath}-\left(x y^{2}\right) \hat{\jmath} \mathrm{m} / \mathrm{s}. Determine:
a) a equação da linha de corrente. ( \mathbf{0 , 2 5 0} ponto)
b) a aceleração na direção \mathrm{x} .(\mathbf{0 , 2 5 0} ponto)
c) a aceleração na direção y. ( \mathbf{0 , 2 5 0} ponto)
d) o módulo da aceleração para o ponto ( 1 ; 3 ). ( \mathbf{0 , 2 5 0} ponto)

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade
\mathbf{V}(x,y)=u(x,y)\,\hat\imath+v(x,y)\,\hat\jmath
com
u(x,y)=x^{3},\qquad v(x,y)=-x\,y^{2}.
Pede-se:
a) equação da linha de corrente (streamline),
b) componente da aceleração na direção x,
c) componente da aceleração na direção y,
d) módulo da aceleração no ponto (1,3).

Passo 2

Para achar a equação da linha de corrente usamos
\frac{dy}{dx}=\frac{v}{u}=\frac{-x\,y^{2}}{x^{3}}=-\frac{y^{2}}{x^{2}}.
Separamos variáveis:
\frac{dy}{y^{2}}=-\frac{dx}{x^{2}}.
Integramos ambos os lados:
\int y^{-2}dy=\int -x^{-2}dx \;\Longrightarrow\; -\,\frac{1}{y}=\frac{1}{x}+C.
Reescrevendo com constante genérica K:
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=K.

Passo 3

A aceleração material é
\mathbf{a}=u\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial x} +v\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial y} =(a_x)\,\hat\imath+(a_y)\,\hat\jmath.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial u}{\partial x}=3x^{2},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial v}{\partial x}=-y^{2},\quad \frac{\partial v}{\partial y}=-2xy.
Logo,
a_x = u\,\frac{\partial u}{\partial x} +v\,\frac{\partial u}{\partial y} = x^{3}\cdot3x^{2}+(-x\,y^{2})\cdot0 =3x^{5}.

Passo 4

De modo análogo,
a_y = u\,\frac{\partial v}{\partial x} +v\,\frac{\partial v}{\partial y} = x^{3}\,(-y^{2}) +(-x\,y^{2})\,(-2xy) =-x^{3}y^{2}+2x^{2}y^{3}.

Passo 5

No ponto (1,3) temos
a_x(1,3)=3\cdot1^{5}=3, \quad a_y(1,3)=-1^{3}\,3^{2}+2\cdot1^{2}\,3^{3}=-9+54=45.
O módulo é
\bigl|\mathbf{a}(1,3)\bigr| =\sqrt{3^{2}+45^{2}} =\sqrt{9+2025} =\sqrt{2034} =3\sqrt{226}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=K.
b) \displaystyle a_x=3x^{5}.
c) \displaystyle a_y=-x^{3}y^{2}+2x^{2}y^{3}.
d) \displaystyle \bigl|\mathbf{a}(1,3)\bigr|=3\sqrt{226}\,\mathrm{m/s^{2}}.

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