Uma linha adicional de seção reta retangular deve ser construida para transportar 36000 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} dé ar frio a -20 { }^{\circ} \mathrm{C} para uma nova cảmara de refrigeração. Para reduzir o consumo de energia elétrica e evitar a formação de gelo sobre a supersicie externa do duto, define-se como base de projeto que a temperatura da superficie externa da linha deve ser de pelo menos 10^{\circ} \mathrm{C}. Determinar a espessura mínima do isolamento térmico que deve ser instalado.
→ Dados da linha de refrigeração: Largura e Altura: 1,0 \mathrm{~m} \times 0.5 \mathrm{~m}; Espessura da chapa: 3 mm ; Material: Aço carbono; Condutividade térmica: 50 \mathrm{~W} /(\mathrm{m}-\mathrm{K}); Isolamento térmico: Lā de rocha: Condutividade térmica: 0,04 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}); Recobrimento da superficie do isolamento: Aluminio corrugado; Emissividade: 0.1.-O
→ Orientações: O seu gerente passou para você as seguintes instruções: (a) No dimensionamento. considerar os efeitos da convecção forçada, naturah ‘’ 'da radiação térmica. Com este objetivo. considere que o coeficiente de transserêncià de calor calculado para as saces laterais (verticais) possa ser aplicado para toda a superficie da linha; (b) Para a determinação da contribuição da convecção natural, utilizar uma correlação empirica apropriada; (d) Considerar que a superficie do duto esté sujeita a uma corrente ascendente de ar de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; (e) A temperatura ambiente e das vizinhanças ond está a linha é 30^{\circ} \mathrm{C}.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (tudo explicitado, com os dados que pegamos do enunciado):
Vazão de ar frio: \,36000\\ \mathrm{m^{3}/h}=10\\ \mathrm{m^3/s} (convertido).
Seção retangular interna do duto: largura 1{,}0\\ \mathrm{m} e altura 0{,}5\\ \mathrm{m}. Área da seção interna: \,A = 1{,}0\times0{,}5 = 0{,}5\\ \mathrm{m^2}.
Espessura da chapa de aço: t_{\text{aço}}=3\\ \mathrm{mm}=0{,}003\\ \mathrm{m}.
Condutividade do aço: k_{\text{aço}}=50\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Isolamento: lã de rocha com k_{\text{isol}}=0{,}04\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}. Há um recobrimento externo de alumínio (emissividade \varepsilon=0{,}1).
Temperatura do ar transportado (interior): T_{i}=-20^\circ\mathrm{C}.
Temperatura ambiente exterior: T_{\infty}=30^\circ\mathrm{C}.
Condição extra: há uma corrente ascendente de ar exterior de U_{\infty}=1\\ \mathrm{m/s}.
Objetivo: determinar a espessura mínima do isolamento t_{\text{isol}} de modo que a temperatura da superfície externa da linha (superfície exposta ao ar e radiação) seja pelo menos 10^\circ\mathrm{C}, i.e. T_{s,\text{ext}}\ge 10^\circ\mathrm{C}.
Instruções do gerente (aplicadas aqui): considerar convecção forçada, convecção natural e radiação; usar um coeficiente global calculado para faces verticais e aplicá‑lo a toda a superfície.
Resumo do método que usarei (não resolve ainda): vou calcular os coeficientes de troca externa (convecção forçada + convecção natural em mistura + radiação linearizada) e o coeficiente interno de convecção (fluxo de ar dentro do duto). Montarei o circuito térmico por unidade de área: resistência interna convectiva + resistência do aço + resistência do isolamento + resistência externa convectiva/radiativa. A partir da condição T_{s,\text{ext}}\ge 10^\circ\mathrm{C} obtenho uma desigualdade que leva à espessura mínima do isolamento.
Passo 2
Cálculo da velocidade média do ar no interior e do coeficiente convectivo interno (passo a passo e explicando as fórmulas).
Vazão volumétrica interna: \dot V = 10\\ \mathrm{m^3/s}.
Comentário: v_i é grande (fluxo rápido), então a convecção interna será turbulenta e importante.
Para estimar o coeficiente convectivo interno h_i uso correlações internas para fluxo turbulento em duto. Primeiro a dimensão característica (diâmetro hidráulico) para uma seção retangular:
D_h=\frac{4A}{P},
onde P é o perímetro molhado. Aqui P=2(1{,}0+0{,}5)=3{,}0\\ \mathrm{m}. Assim
Agora propriedades do ar (valores típicos aproximados; como não foram fornecidos, adoto valores de tabela e explico: são aceitáveis para estimativa em prova):
Condutividade térmica do ar próximo a -20^\circ\mathrm{C}: k_{\text{ar}}\approx0{,}024\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Prandtl: \Pr\approx0{,}71.
Viscosidade cinemática em -20^\circ\mathrm{C}: \nu\approx1{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
Interpretação: h_i mede a facilidade com que o ar interno troca calor com a parede interna do duto; é relativamente alto devido à velocidade interna.
Passo 3
Cálculo da convecção forçada externa (placa vertical) — explicando a física e a fórmula usada.
A face vertical característica tem altura L=1{,}0\\ \mathrm{m} (o enunciado permitiu usar as faces verticais para obter o coeficiente que será aplicado a toda a superfície).
Velocidade externa dada: U_{\infty}=1\\ \mathrm{m/s}.
Propriedades do ar na temperatura ambiente T_{\infty}=30^\circ\mathrm{C}: usada k_{\text{ar,30}}\approx0{,}026\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, \nu\approx1{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}, \Pr\approx0{,}7. (Valores típicos; para prova isso é aceitável.)
Cálculo da convecção natural externa para uma placa vertical (passo a passo).
Natural convection depende do número de Rayleigh \mathrm{Ra}_L, que envolve o coeficiente de expansão térmica do ar \beta, a gravidade g, a diferença de temperatura \Delta T e as difusividades. Para fazer uma estimativa usamos a diferença esperada entre superfície externa (meta 10^\circ\mathrm{C}) e ambiente 30^\circ\mathrm{C}, isto é |\Delta T|=20\\ \mathrm{K}. (Isto é consistente: se a superfície ficar mais fria que o ar, a convecção natural ainda existe, com fluxo descendente.)
Valores usados: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. Para ar \beta\approx1/T_{\text{film}} com T_{\text{film}}\approx(283+303)/2\\ \mathrm{K}=293\\ \mathrm{K}\Rightarrow\beta\approx1/293\approx0{,}00341\\ \mathrm{K^{-1}}. Difusividades aproximadas: \nu\approx1{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}, \alpha\approx2{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
Interpretação simples: a convecção natural (por diferença de densidade do ar) contribui, mas é do mesmo mesmo ordem de grandeza que a convecção forçada fraca.
Passo 5
Combinação da convecção forçada e natural (convecção mista) e inclusão da radiação.
Para convecção mista costuma‑se usar a combinação do tipo
Agora a radiação: usa‑se o coeficiente de radiação linearizado aproximado
h_r\approx 4\varepsilon\sigma T_{\text{m}}^{3},
onde \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K^4)} é a constante de Stefan–Boltzmann e T_{\text{m}} é a temperatura média absoluta. Tomando a meta T_{s,\text{ext}}=10^\circ\mathrm{C}=283\\ \mathrm{K} e T_{\infty}=303\\ \mathrm{K}, o T_{\text{m}}\approx293\\ \mathrm{K}. Assim
Observação didática: h_{\text{out}} é a constante que relaciona trocas térmicas entre a superfície externa e o ambiente, linearizada para diferenças de temperatura modestamente pequenas; ela incorpora os efeitos de convecção (forçada+natural) e de radiação.
Passo 6
Montagem do circuito térmico e expressão para a espessura mínima do isolamento.
Por unidade de área (ou seja, resistências por 1\\ \mathrm{m^2} de superfície), as resistências em série do problema são:
Interpretação do resultado, verificação rápida de consistência e recomendação prática (didática).
Resultado numérico: t_{\text{isol,min}}\approx0{,}0115\\ \mathrm{m} (ou cerca de 11{,}5\\ \mathrm{mm}).
Verificação mental: sem isolamento o termo 1/h_{\text{out}}=0{,}2066 domina as resistências externas, e a resistência interna 1/h_i é pequena; portanto um isolante fino (~centímetros fracionários) já é capaz de elevar bastante T_{s,\text{ext}}. Nosso resultado da ordem de 1 centímetro faz sentido.
Observações sobre aproximações feitas (muito importantes em prova e à prova de críticas):
Foram usados valores típicos de propriedades do ar (k, \nu, \Pr) — em prova justifique com tabela e diga que se obtiver valores mais precisos refaz-se o cálculo.
Usei correlações padrão (Dittus–Boelter para o interior; correlações de placa para convecção forçada; correlação de convecção natural para placa vertical). Expliquei as hipóteses.
Radiação foi linearizada por h_r\approx4\varepsilon\sigma T_m^3 usando T_m média; isso é aceitável para pequenas diferenças de temperatura.
A carcaça externa de alumínio foi tratada apenas como superfície emissiva (espessura desprezada). Se a chapa de alumínio tiver espessura significativa haverá mais resistência (geralmente desprezível).
Recomendação prática: para garantir margem de segurança contra variações de propriedades, pontos de frio local, juntas, defeitos, sugiro adotar um valor comercial levemente maior, por exemplo 15\\ \mathrm{mm} de lã de rocha. Mas o cálculo mostra que o mínimo teórico é cerca de 11{,}5\\ \mathrm{mm}.
Força final: você já tem a fórmula e o passo a passo; na prova escreva claramente as hipóteses, mostre os cálculos dos números adimensionais (Re, Nu, Ra), monte as resistências e isole t_{\text{isol}} como fiz acima — isso dá pontos mesmo se alguns números de propriedades mudarem.