(ii) Unidade de refrigeração

Uma linha adicional de seção reta retangular deve ser construida para transportar 36000 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} dé ar frio a -20 { }^{\circ} \mathrm{C} para uma nova cảmara de refrigeração. Para reduzir o consumo de energia elétrica e evitar a formação de gelo sobre a supersicie externa do duto, define-se como base de projeto que a temperatura da superficie externa da linha deve ser de pelo menos 10^{\circ} \mathrm{C}. Determinar a espessura mínima do isolamento térmico que deve ser instalado.
→ Dados da linha de refrigeração: Largura e Altura: 1,0 \mathrm{~m} \times 0.5 \mathrm{~m}; Espessura da chapa: 3 mm ; Material: Aço carbono; Condutividade térmica: 50 \mathrm{~W} /(\mathrm{m}-\mathrm{K}); Isolamento térmico: Lā de rocha: Condutividade térmica: 0,04 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}); Recobrimento da superficie do isolamento: Aluminio corrugado; Emissividade: 0.1.-O
→ Orientações: O seu gerente passou para você as seguintes instruções: (a) No dimensionamento. considerar os efeitos da convecção forçada, naturah ‘’ 'da radiação térmica. Com este objetivo. considere que o coeficiente de transserêncià de calor calculado para as saces laterais (verticais) possa ser aplicado para toda a superficie da linha; (b) Para a determinação da contribuição da convecção natural, utilizar uma correlação empirica apropriada; (d) Considerar que a superficie do duto esté sujeita a uma corrente ascendente de ar de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; (e) A temperatura ambiente e das vizinhanças ond está a linha é 30^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (tudo explicitado, com os dados que pegamos do enunciado):
  • Vazão de ar frio: \,36000\\ \mathrm{m^{3}/h}=10\\ \mathrm{m^3/s} (convertido).
  • Seção retangular interna do duto: largura 1{,}0\\ \mathrm{m} e altura 0{,}5\\ \mathrm{m}. Área da seção interna: \,A = 1{,}0\times0{,}5 = 0{,}5\\ \mathrm{m^2}.
  • Espessura da chapa de aço: t_{\text{aço}}=3\\ \mathrm{mm}=0{,}003\\ \mathrm{m}ç.
  • Condutividade do aço: k_{\text{aço}}=50\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}ç.
  • Isolamento: lã de rocha com k_{\text{isol}}=0{,}04\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}. Há um recobrimento externo de alumínio (emissividade \varepsilon=0{,}1).
  • Temperatura do ar transportado (interior): T_{i}=-20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura ambiente exterior: T_{\infty}=30^\circ\mathrm{C}.
  • Condição extra: há uma corrente ascendente de ar exterior de U_{\infty}=1\\ \mathrm{m/s}.
  • Objetivo: determinar a espessura mínima do isolamento t_{\text{isol}} de modo que a temperatura da superfície externa da linha (superfície exposta ao ar e radiação) seja pelo menos 10^\circ\mathrm{C}, i.e. T_{s,\text{ext}}\ge 10^\circ\mathrm{C}.
  • Instruções do gerente (aplicadas aqui): considerar convecção forçada, convecção natural e radiação; usar um coeficiente global calculado para faces verticais e aplicá‑lo a toda a superfície.
Resumo do método que usarei (não resolve ainda): vou calcular os coeficientes de troca externa (convecção forçada + convecção natural em mistura + radiação linearizada) e o coeficiente interno de convecção (fluxo de ar dentro do duto). Montarei o circuito térmico por unidade de área: resistência interna convectiva + resistência do aço + resistência do isolamento + resistência externa convectiva/radiativa. A partir da condição T_{s,\text{ext}}\ge 10^\circ\mathrm{C} obtenho uma desigualdade que leva à espessura mínima do isolamento.

Passo 2

Cálculo da velocidade média do ar no interior e do coeficiente convectivo interno (passo a passo e explicando as fórmulas).
  • Vazão volumétrica interna: \dot V = 10\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Área da seção: A=0{,}5\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade média interna:
v_i=\frac{\dot V}{A}=\frac{10}{0{,}5}=20\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: v_i é grande (fluxo rápido), então a convecção interna será turbulenta e importante.
Para estimar o coeficiente convectivo interno h_i uso correlações internas para fluxo turbulento em duto. Primeiro a dimensão característica (diâmetro hidráulico) para uma seção retangular:
D_h=\frac{4A}{P},
onde P é o perímetro molhado. Aqui P=2(1{,}0+0{,}5)=3{,}0\\ \mathrm{m}. Assim
D_h=\frac{4\times0{,}5}{3{,}0}=\frac{2}{3}\approx0{,}6667\\ \mathrm{m}.
Agora propriedades do ar (valores típicos aproximados; como não foram fornecidos, adoto valores de tabela e explico: são aceitáveis para estimativa em prova):
  • Condutividade térmica do ar próximo a -20^\circ\mathrm{C}: k_{\text{ar}}\approx0{,}024\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Prandtl: \Pr\approx0{,}71.
  • Viscosidade cinemática em -20^\circ\mathrm{C}: \nu\approx1{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
Calcule o número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{v_i D_h}{\nu}=\frac{20\times0{,}6667}{1{,}4\times10^{-5}}\approx9{,}52\times10^{5},
ou seja fluxo claramente turbulento.
Para fluxo interno turbulento a correlação de Dittus–Boelter (válida para tubos/ductos turbulentos plenamente desenvolvidos) fornece:
\mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\Pr^{0{,}4},
onde \mathrm{Nu} é o número de Nusselt médio: \mathrm{Nu}=\dfrac{h_i D_h}{k_{\text{ar}}}. Substituindo:
\mathrm{Nu}\approx0{,}023\times(9{,}52\times10^{5})^{0{,}8}\times0{,}71^{0{,}4}\approx1{,}21\times10^{3}.
Logo
h_i=\frac{\mathrm{Nu}\,k_{\text{ar}}}{D_h}\approx\frac{1{,}21\times10^{3}\times0{,}024}{0{,}6667}\approx43{,}5\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Interpretação: h_i mede a facilidade com que o ar interno troca calor com a parede interna do duto; é relativamente alto devido à velocidade interna.

Passo 3

Cálculo da convecção forçada externa (placa vertical) — explicando a física e a fórmula usada.
  • A face vertical característica tem altura L=1{,}0\\ \mathrm{m} (o enunciado permitiu usar as faces verticais para obter o coeficiente que será aplicado a toda a superfície).
  • Velocidade externa dada: U_{\infty}=1\\ \mathrm{m/s}.
  • Propriedades do ar na temperatura ambiente T_{\infty}=30^\circ\mathrm{C}: usada k_{\text{ar,30}}\approx0{,}026\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, \nu\approx1{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}, \Pr\approx0{,}7. (Valores típicos; para prova isso é aceitável.)
Número de Reynolds na placa:
\mathrm{Re}_L=\frac{U_{\infty}L}{\nu}=\frac{1\times1{,}0}{1{,}6\times10^{-5}}\approx6{,}25\times10^{4}.
Para um escoamento sobre placa plana, o regime é laminar (intervalo típico). A correlação para o Nusselt médio em laminar é
\mathrm{Nu}_L = 0{,}664\,\mathrm{Re}_L^{1/2}\Pr^{1/3}.
Calculando:
\mathrm{Nu}_L \approx 0{,}664\times(6{,}25\times10^{4})^{1/2}\times0{,}7^{1/3}\approx147{,}4.
Portanto o coeficiente convectivo forçado médio:
h_{\text{for}}=\frac{\mathrm{Nu}_L\,k_{\text{ar,30}}}{L}\approx\frac{147{,}4\times0{,}026}{1{,}0}\approx3{,}83\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 4

Cálculo da convecção natural externa para uma placa vertical (passo a passo).
  • Natural convection depende do número de Rayleigh \mathrm{Ra}_L, que envolve o coeficiente de expansão térmica do ar \beta, a gravidade g, a diferença de temperatura \Delta T e as difusividades. Para fazer uma estimativa usamos a diferença esperada entre superfície externa (meta 10^\circ\mathrm{C}) e ambiente 30^\circ\mathrm{C}, isto é |\Delta T|=20\\ \mathrm{K}. (Isto é consistente: se a superfície ficar mais fria que o ar, a convecção natural ainda existe, com fluxo descendente.)
  • Valores usados: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. Para ar \beta\approx1/T_{\text{film}} com T_{\text{film}}\approx(283+303)/2\\ \mathrm{K}=293\\ \mathrm{K}\Rightarrow\beta\approx1/293\approx0{,}00341\\ \mathrm{K^{-1}}. Difusividades aproximadas: \nu\approx1{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}, \alpha\approx2{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
O número de Rayleigh:
\mathrm{Ra}_L=\frac{g\beta|\Delta T|L^{3}}{\nu\alpha} =\frac{9{,}81\times0{,}00341\times20\times1^{3}}{1{,}6\times10^{-5}\times2{,}2\times10^{-5}} \approx1{,}90\times10^{9}.
Usa‑se a correlação empírica confiável para placas verticais (grande faixa de Ra):
\mathrm{Nu}_L \approx 0{,}68+\frac{0{,}670\,\mathrm{Ra}_L^{1/4}}{\left[1+\left(0{,}492/\Pr\right)^{9/16}\right]^{4/9}}.
Substituindo os números (mostrando passo a passo):
  • \mathrm{Ra}_L^{1/4}\approx(1{,}90\times10^{9})^{1/4}\approx209.
  • O denominador de correção é aproximadamente 1{,}33. Assim
\mathrm{Nu}_L\approx0{,}68+\frac{0{,}670\times209}{1{,}33}\approx106{,}0.
Logo
h_{\text{nat}}=\frac{\mathrm{Nu}_L\,k_{\text{ar,30}}}{L}\approx\frac{106{,}0\times0{,}026}{1{,}0}\approx2{,}76\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Interpretação simples: a convecção natural (por diferença de densidade do ar) contribui, mas é do mesmo mesmo ordem de grandeza que a convecção forçada fraca.

Passo 5

Combinação da convecção forçada e natural (convecção mista) e inclusão da radiação.
  • Para convecção mista costuma‑se usar a combinação do tipo
h_{\text{conv}}=\left(h_{\text{for}}^{n}+h_{\text{nat}}^{n}\right)^{1/n},
comumente n=3 (isso dá um resultado físico entre as duas contribuições). Substituindo:
h_{\text{conv}}=\big(3{,}83^{3}+2{,}76^{3}\big)^{1/3}\approx4{,}27\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Agora a radiação: usa‑se o coeficiente de radiação linearizado aproximado
h_r\approx 4\varepsilon\sigma T_{\text{m}}^{3},
onde \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K^4)} é a constante de Stefan–Boltzmann e T_{\text{m}} é a temperatura média absoluta. Tomando a meta T_{s,\text{ext}}=10^\circ\mathrm{C}=283\\ \mathrm{K} e T_{\infty}=303\\ \mathrm{K}, o T_{\text{m}}\approx293\\ \mathrm{K}. Assim
h_r\approx4\times0{,}1\times5{,}67\times10^{-8}\times293^{3}\approx0{,}57\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Somando convecção mista e radiação obtemos o coeficiente externo linear total:
h_{\text{out}}=h_{\text{conv}}+h_r\approx4{,}27+0{,}57\approx4{,}84\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Observação didática: h_{\text{out}} é a constante que relaciona trocas térmicas entre a superfície externa e o ambiente, linearizada para diferenças de temperatura modestamente pequenas; ela incorpora os efeitos de convecção (forçada+natural) e de radiação.

Passo 6

Montagem do circuito térmico e expressão para a espessura mínima do isolamento.
  • Por unidade de área (ou seja, resistências por 1\\ \mathrm{m^2} de superfície), as resistências em série do problema são:
R_{\text{tot}}=\underbrace{\frac{1}{h_i}}_{\text{conv. interna}}+\underbrace{\frac{t_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}}}_{\text{condução aço}}+\underbrace{\frac{t_{\text{isol}}}{k_{\text{isol}}}}_{\text{condução isolante}}+\underbrace{\frac{1}{h_{\text{out}}}}_{\text{conv.+rad. externa}}.çççãççã
  • A queda de temperatura entre o ambiente externo e o interior é
\Delta T_{\text{total}}=T_{\infty}-T_{i}=30-(-20)=50\\ \mathrm{K}.
  • O fluxo de calor por unidade de área no regime estacionário é
q''=\frac{\Delta T_{\text{total}}}{R_{\text{tot}}}=\frac{50}{R_{\text{tot}}}\quad\left(\mathrm{W/m^2}\right).
  • A temperatura da superfície externa está relacionada ao fluxo por
T_{s,\text{ext}}=T_{\infty}-q''\left(\frac{1}{h_{\text{out}}}\right).
Queremos T_{s,\text{ext}}\ge 10^\circ\mathrm{C}. Substituindo q'' dá a condição
T_{\infty}-\frac{50}{R_{\text{tot}}}\left(\frac{1}{h_{\text{out}}}\right)\ge10.
Isolando R_{\text{tot}} obtemos (passos algébricos):
\frac{50}{R_{\text{tot}}}\le h_{\text{out}}(T_{\infty}-10)=h_{\text{out}}\times20,
ou
R_{\text{tot}}\ge\frac{50}{20\,h_{\text{out}}}=\frac{2{,}5}{h_{\text{out}}}.
  • Definindo R_{\text{outros}}=\dfrac{1}{h_i}+\dfrac{t_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}}+\dfrac{1}{h_{\text{out}}}çç, então
\frac{t_{\text{isol}}}{k_{\text{isol}}} \ge \frac{2{,}5}{h_{\text{out}}}-R_{\text{outros}}.
Portanto a espessura mínima exigida é
t_{\text{isol,min}} = k_{\text{isol}}\left(\frac{2{,}5}{h_{\text{out}}}-R_{\text{outros}}\right),
desde que o lado direito seja positivo; se fosse negativo não seria necessário isolamento para atingir 10^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Substituição numérica (mostrando cada termo) e cálculo final.
Valores já calculados:
  • h_i\approx43{,}5\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}\Rightarrow 1/h_i\approx0{,}0230\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}.
  • t_{\text{aço}}/k_{\text{aço}}=0{,}003/50=6{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}çç (praticamente desprezível).
  • h_{\text{out}}\approx4{,}84\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}\Rightarrow 1/h_{\text{out}}\approx0{,}2066\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}.
Calcule R_{\text{outros}}:
R_{\text{outros}}=\frac{1}{h_i}+\frac{t_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}}+\frac{1}{h_{\text{out}}}\approx0{,}0230+0{,}00006+0{,}2066\approx0{,}2297\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}.çç
Compute R_{\text{tot,req}}=\dfrac{2{,}5}{h_{\text{out}}}=\dfrac{2{,}5}{4{,}84}\approx0{,}5165\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}.
Assim a resistência do isolante necessária:
\frac{t_{\text{isol}}}{k_{\text{isol}}}=R_{\text{tot,req}}-R_{\text{outros}}\approx0{,}5165-0{,}2297=0{,}2868\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}.
Portanto a espessura mínima:
t_{\text{isol,min}}=k_{\text{isol}}\times0{,}2868=0{,}04\times0{,}2868\approx0{,}01147\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
t_{\text{isol,min}}\approx11{,}47\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Interpretação do resultado, verificação rápida de consistência e recomendação prática (didática).
  • Resultado numérico: t_{\text{isol,min}}\approx0{,}0115\\ \mathrm{m} (ou cerca de 11{,}5\\ \mathrm{mm}).
  • Verificação mental: sem isolamento o termo 1/h_{\text{out}}=0{,}2066 domina as resistências externas, e a resistência interna 1/h_i é pequena; portanto um isolante fino (~centímetros fracionários) já é capaz de elevar bastante T_{s,\text{ext}}. Nosso resultado da ordem de 1 centímetro faz sentido.
  • Observações sobre aproximações feitas (muito importantes em prova e à prova de críticas):
    • Foram usados valores típicos de propriedades do ar (k, \nu, \Pr) — em prova justifique com tabela e diga que se obtiver valores mais precisos refaz-se o cálculo.
    • Usei correlações padrão (Dittus–Boelter para o interior; correlações de placa para convecção forçada; correlação de convecção natural para placa vertical). Expliquei as hipóteses.
    • Radiação foi linearizada por h_r\approx4\varepsilon\sigma T_m^3 usando T_m média; isso é aceitável para pequenas diferenças de temperatura.
    • A carcaça externa de alumínio foi tratada apenas como superfície emissiva (espessura desprezada). Se a chapa de alumínio tiver espessura significativa haverá mais resistência (geralmente desprezível).
  • Recomendação prática: para garantir margem de segurança contra variações de propriedades, pontos de frio local, juntas, defeitos, sugiro adotar um valor comercial levemente maior, por exemplo 15\\ \mathrm{mm} de lã de rocha. Mas o cálculo mostra que o mínimo teórico é cerca de 11{,}5\\ \mathrm{mm}.
Força final: você já tem a fórmula e o passo a passo; na prova escreva claramente as hipóteses, mostre os cálculos dos números adimensionais (Re, Nu, Ra), monte as resistências e isole t_{\text{isol}} como fiz acima — isso dá pontos mesmo se alguns números de propriedades mudarem.

Resposta

t_{\text{isol,min}}=0,0115\\ \mathrm{m}\approx11{,}5\\ \mathrm{mm}

Exercícios relacionados