2. Uma Variável Qualitativa e uma Quantitativa [2]

Objetivo: Comparar a resistência de diferentes misturas de materiais.
Tipo de Traço de Concreto (Qualitativa) Resistência à Compressão (Quantitativa MPa)
C20 (Convencional) 22.5-26.2-23.4-27.4-25.0-26.0-24.5
C40 (Alta Resistência) 41.2-43.2-48.3-45.3-42.4-44.8-41.9
Concreto com Fibras 35.8-38.3-39.1-34.6-40.1-41.0-37.9

Passo 1

O enunciado pede comparar a resistência à compressão de três tipos de concreto (uma variável qualitativa com três categorias) usando os dados numéricos fornecidos (uma variável quantitativa). Vou listar explicitamente os dados que peguei da tabela do enunciado:
  • Para o tipo \text{C20 (Convencional)} os valores são 22{,}5,\;26{,}2,\;23{,}4,\;27{,}4,\;25{,}0,\;26{,}0,\;24{,}5.
  • Para o tipo \text{C40 (Alta Resistência)}ê os valores são 41{,}2,\;43{,}2,\;48{,}3,\;45{,}3,\;42{,}4,\;44{,}8,\;41{,}9.
  • Para o tipo \text{Concreto com Fibras} os valores são 35{,}8,\;38{,}3,\;39{,}1,\;34{,}6,\;40{,}1,\;41{,}0,\;37{,}9.
O objetivo prático que vou seguir (inferido do enunciado) é: calcular estatísticas descritivas básicas por grupo (média, desvio padrão amostral, mediana e amplitude) e, a partir disso, comparar as misturas quanto à resistência média e à variabilidade.

Passo 2

Relembrando as fórmulas e o que cada símbolo significa (aula rápida e prática):
  • A média amostral: \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são as observações do grupo e n é o número de observações (aqui n=7 em cada grupo).
  • A variância amostral (estimador não viciado): s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,
onde s^2 mede a dispersão média ao quadrado. Usamos n-1 porque estamos estimando a variância da população a partir da amostra.
  • O desvio padrão amostral: s=\sqrt{s^2},
que tem as mesmas unidades dos dados e é mais fácil de interpretar que a variância.
  • A mediana é o valor central ordenado (para n ímpar é o elemento (n+1)/2).
  • A amplitude (range) é \text{amplitude}=\max(x_i)-\min(x_i).
Vou calcular, para cada categoria, a soma dos dados, a média \bar{x}, em seguida as diferenças x_i-\bar{x}, os quadrados dessas diferenças, a soma dos quadrados das diferenças, s^2 e s. Mostro passo a passo para cada grupo.

Passo 3

Dados (peguei da tabela): 22{,}5,\;26{,}2,\;23{,}4,\;27{,}4,\;25{,}0,\;26{,}0,\;24{,}5.
  1. Soma e média:
\sum x_i = 22{,}5+26{,}2+23{,}4+27{,}4+25{,}0+26{,}0+24{,}5 = 175{,}0.
\bar{x}=\frac{175{,}0}{7}=25{,}0\\ \text{MPa}.
  1. Diferenças em relação à média e quadrados:
\begin{aligned} 22{,}5-25{,}0 &= -2{,}5,\quad (-2{,}5)^2=6{,}25,\\\\ 26{,}2-25{,}0 &= 1{,}2,\quad (1{,}2)^2=1{,}44,\\\\ 23{,}4-25{,}0 &= -1{,}6,\quad (-1{,}6)^2=2{,}56,\\\\ 27{,}4-25{,}0 &= 2{,}4,\quad (2{,}4)^2=5{,}76,\\\\ 25{,}0-25{,}0 &= 0{,}0,\quad 0{,}0^2=0{,}00,\\\\ 26{,}0-25{,}0 &= 1{,}0,\quad (1{,}0)^2=1{,}00,\\\\ 24{,}5-25{,}0 &= -0{,}5,\quad (-0{,}5)^2=0{,}25. \end{aligned}
  1. Soma dos quadrados das diferenças:
\sum (x_i-\bar{x})^2 = 6{,}25+1{,}44+2{,}56+5{,}76+0{,}00+1{,}00+0{,}25 = 17{,}26.
  1. Variância e desvio padrão amostral:
s^2=\frac{17{,}26}{7-1}=\frac{17{,}26}{6}=2{,}876\overline{6}\\ \text{(MPa)}^2,
s=\sqrt{2{,}876\overline{6}}\approx 1{,}697\\ \text{MPa}.
  1. Mediana e amplitude:
  • Ordenando: 22{,}5,\;23{,}4,\;24{,}5,\;25{,}0,\;26{,}0,\;26{,}2,\;27{,}4. A mediana é o 4.º elemento: 25{,}0\\ \text{MPa}.
  • Amplitude: 27{,}4-22{,}5=4{,}9\\ \text{MPa}.

Passo 4

Dados (peguei da tabela): 41{,}2,\;43{,}2,\;48{,}3,\;45{,}3,\;42{,}4,\;44{,}8,\;41{,}9.
  1. Soma e média:
\sum x_i = 41{,}2+43{,}2+48{,}3+45{,}3+42{,}4+44{,}8+41{,}9 = 307{,}1.
\bar{x}=\frac{307{,}1}{7}\approx 43{,}871\\ \text{MPa}.
  1. Diferenças e quadrados (mostro os resultados dos quadrados, cálculo analítico direto):
\begin{aligned} 41{,}2-\bar{x} &\approx -2{,}671,\quad\text{quadrado}\approx 7{,}136,\\\\ 43{,}2-\bar{x} &\approx -0{,}671,\quad\text{quadrado}\approx 0{,}451,\\\\ 48{,}3-\bar{x} &\approx 4{,}429,\quad\text{quadrado}\approx 19{,}606,\\\\ 45{,}3-\bar{x} &\approx 1{,}429,\quad\text{quadrado}\approx 2{,}041,\\\\ 42{,}4-\bar{x} &\approx -1{,}471,\quad\text{quadrado}\approx 2{,}164,\\\\ 44{,}8-\bar{x} &\approx 0{,}929,\quad\text{quadrado}\approx 0{,}862,\\\\ 41{,}9-\bar{x} &\approx -1{,}971,\quad\text{quadrado}\approx 3{,}887. \end{aligned}
  1. Soma dos quadrados das diferenças:
\sum (x_i-\bar{x})^2 \approx 36{,}146.
  1. Variância e desvio padrão amostral:
s^2=\frac{36{,}146}{6}\approx 6{,}024,
s=\sqrt{6{,}024}\approx 2{,}454\\ \text{MPa}.
  1. Mediana e amplitude:
  • Ordenando: 41{,}2,\;41{,}9,\;42{,}4,\;43{,}2,\;44{,}8,\;45{,}3,\;48{,}3. Mediana =43{,}2\\ \text{MPa}.
  • Amplitude: 48{,}3-41{,}2=7{,}1\\ \text{MPa}.

Passo 5

Dados (peguei da tabela): 35{,}8,\;38{,}3,\;39{,}1,\;34{,}6,\;40{,}1,\;41{,}0,\;37{,}9.
  1. Soma e média:
\sum x_i = 35{,}8+38{,}3+39{,}1+34{,}6+40{,}1+41{,}0+37{,}9 = 266{,}8.
\bar{x}=\frac{266{,}8}{7}\approx 38{,}114\\ \text{MPa}.
  1. Diferenças e quadrados (resultados aproximados):
\begin{aligned} 35{,}8-\bar{x} &\approx -2{,}314,\quad\text{quadrado}\approx 5{,}357,\\\\ 38{,}3-\bar{x} &\approx 0{,}186,\quad\text{quadrado}\approx 0{,}034,\\\\ 39{,}1-\bar{x} &\approx 0{,}986,\quad\text{quadrado}\approx 0{,}972,\\\\ 34{,}6-\bar{x} &\approx -3{,}514,\quad\text{quadrado}\approx 12{,}350,\\\\ 40{,}1-\bar{x} &\approx 1{,}986,\quad\text{quadrado}\approx 3{,}944,\\\\ 41{,}0-\bar{x} &\approx 2{,}886,\quad\text{quadrado}\approx 8{,}327,\\\\ 37{,}9-\bar{x} &\approx -0{,}214,\quad\text{quadrado}\approx 0{,}046. \end{aligned}
  1. Soma dos quadrados das diferenças:
\sum (x_i-\bar{x})^2 \approx 31{,}030.
  1. Variância e desvio padrão amostral:
s^2=\frac{31{,}030}{6}\approx 5{,}172,
s=\sqrt{5{,}172}\approx 2{,}274\\ \text{MPa}.
  1. Mediana e amplitude:
  • Ordenando: 34{,}6,\;35{,}8,\;37{,}9,\;38{,}3,\;39{,}1,\;40{,}1,\;41{,}0. Mediana =38{,}3\\ \text{MPa}.
  • Amplitude: 41{,}0-34{,}6=6{,}4\\ \text{MPa}.

Passo 6

Agora que temos as estatísticas, interpreto-as de forma direta e prática:
  • Médias (resistência típica):
    • \text{C20}: \bar{x}=25{,}0\\ \text{MPa}.
    • \text{C40}: \bar{x}\approx 43{,}871\\ \text{MPa}.
    • \text{Com Fibras}: \bar{x}\approx 38{,}114\\ \text{MPa}.
      Conclusão: o tipo \text{C40} tem a maior resistência média; o \text{C20} tem a menor.
  • Variabilidade (quanto os resultados “oscilaram”):
    • \text{C20}: s\approx 1{,}697\\ \text{MPa} (menor desvio padrão).
    • \text{Com Fibras}: s\approx 2{,}274\\ \text{MPa}.
    • \text{C40}: s\approx 2{,}454\\ \text{MPa} (maior desvio padrão).
      Conclusão: \text{C20} é o mais consistente (menor variabilidade) apesar de ter menor média; \text{C40} tem a maior média mas também maior dispersão entre amostras.
  • Medianas e amplitudes confirmam a mesma ideia: medianas seguem as médias e as amplitudes mostram \text{C20} com amplitude 4{,}9 (mais estreita) e \text{C40} com amplitude 7{,}1 (mais larga).
Observação prática para prova: se for exigido testar formalmente se as médias diferem (além da comparação descritiva), o procedimento padrão seria um teste de ANOVA one-way (ou teste de Kruskal–Wallis se não confiar em normalidade). Mas para uma resposta de comparação simples, as estatísticas descritivas acima são suficientes para afirmar que \text{C40} apresenta a maior resistência média enquanto \text{C20} é a mistura mais estável (menos variabilidade).

Resposta

C20 (Convencional): \bar{x}=25{,}0\\ \text{MPa},\\ s\approx 1{,}697\\ \text{MPa},\\ \text{mediana}=25{,}0\\ \text{MPa},\\ \text{amplitude}=4{,}9\\ \text{MPa}
C40 (Alta Resistência): \bar{x}\approx 43{,}871\\ \text{MPa},\\ s\approx 2{,}454\\ \text{MPa},\\ \text{mediana}=43{,}2\\ \text{MPa},\\ \text{amplitude}=7{,}1\\ \text{MPa}
Concreto com Fibras: \bar{x}\approx 38{,}114\\ \text{MPa},\\ s\approx 2{,}274\\ \text{MPa},\\ \text{mediana}=38{,}3\\ \text{MPa},\\ \text{amplitude}=6{,}4\\ \text{MPa}
Conclusão resumida: maior resistência média = \text{C40}; menor variabilidade = \text{C20}.

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