Uma distribuição uniforme de poeira no sistema solar acrescenta, à atração gravitacional do Sol sobre um planeta, uma força adicional
\vec{F}=-m C \vec{r},
onde m é a massa do planeta, C é uma constante proporcional à constante gravitacional e à densidade da poeira, e \vec{r} é o vetor posição do Sol ao planeta (ambos tratados como pontos). Essa força adicional é muito pequena em comparação com a força gravitacional direta entre Sol e planeta.
(a) Calcule o período de uma órbita circular de raio r_{0} do planeta neste campo combinado.
(b) Calcule o período das oscilações radiais para pequenas perturbações dessa órbita circular.
(c) Mostre que órbitas quase circulares podem ser aproximadas por uma elipse em precessão e determine a frequência de precessão. A precessão ocorre no mesmo sentido ou em sentido oposto ao da velocidade angular orbital?

Passo 1

O enunciado nos dá que, além da atração gravitacional do Sol, o planeta sofre uma força adicional de forma linear em \vec{r}:
\vec{F}_{\text{ad}} = -m C \vec{r},
onde m é a massa do planeta, C é uma constante positiva (dimensão de \text{tempo}^{-2}) e \vec{r} é o vetor posição do Sol para o planeta. A força gravitacional padrão é a de Newton entre Sol e planeta (trabalharemos por unidade de massa quando conveniente). O enunciado pede três coisas:
  • (a) o período de uma órbita circular de raio r_{0} nesse campo combinado;
  • (b) o período das pequenas oscilações radiais em torno dessa órbita circular;
  • (c) mostrar que órbitas quase circulares são elipses que precessam, e determinar a frequência da precessão e seu sentido (se é no mesmo sentido da velocidade angular ou no sentido oposto).
Informações relevantes dadas / que usaremos:
  • Força total (por unidade de massa) é uma força central radial que combina a gravidade e a força proporcional a r.
  • Para órbita circular usamos equilíbrio centrípeto entre força radial e r\dot{\theta}^2.
  • Para pequenas oscilações radiais usamos o potencial efetivo e a expansão em torno de r_{0}.
  • Notação que vou usar: G constante gravitacional, M massa do Sol, r raio, \theta ângulo polar, \dot{} derivada temporal, r_{0} raio da órbita circular, \Omega velocidade angular da órbita circular \big(\Omega=\dot{\theta}\\ \text{em }r_0\big), h momento angular específico (por unidade de massa), T períodos.

Passo 2

Definir a aceleração total por unidade de massa e encontrar a velocidade angular \Omega para a órbita circular de raio r_{0}.
A aceleração gravitacional por unidade de massa é
\vec{a}_{\text{grav}} = -\frac{GM}{r^{3}}\vec{r}.
A aceleração associada à força adicional é
\vec{a}_{\text{ad}} = -C\vec{r}.
Logo a aceleração radial total por unidade de massa é
\vec{a} = -\left(\frac{GM}{r^{3}} + C\right)\vec{r}.
Para uma órbita circular de raio r_{0} a velocidade angular \Omega satisfaz a condição de equilíbrio centrípeto:
r_{0}\Omega^{2}=\frac{GM}{r_{0}^{2}}+C r_{0}.
Isolando \Omega,
\Omega^{2}=\frac{GM}{r_{0}^{3}}+C.
O período orbital T é o tempo para \theta avançar 2\pi, portanto
T=\frac{2\pi}{\Omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{\dfrac{GM}{r_{0}^{3}}+C}}.
Comentário didático curto: isso é análogo à lei de Kepler modificada — o termo C acrescenta uma contribuição uniforme à frequência quadrática, porque a força adicional age como um potencial elástico central proporcional a r^{2}.

Passo 3

Calcular o período das pequenas oscilações radiais (pequenas perturbações r(t)=r_{0}+\rho(t) com |\rho|\ll r_{0}).
Método: trabalhar com o potencial efetivo por unidade de massa e usar a aproximação harmônica para \rho. Primeiro escrevemos o potencial efetivo por unidade de massa:
V_{\text{eff}}(r) = -\frac{GM}{r} + \frac{1}{2}C r^{2} + \frac{h^{2}}{2r^{2}},
onde h=r^{2}\dot{\theta} é o momento angular específico (por unidade de massa). Para a órbita circular em r_{0} vale V'_{\text{eff}}(r_{0})=0 (equilíbrio radial), o que nos dá a relação já usada; porém usaremos também h para eliminar termos quando necessário.
Calculemos a derivada segunda do potencial efetivo:
V'_{\text{eff}}(r) = \frac{GM}{r^{2}} + C r - \frac{h^{2}}{r^{3}},
V''_{\text{eff}}(r) = -\frac{2GM}{r^{3}} + C + \frac{3h^{2}}{r^{4}}.
Avaliada em r_{0},
V''_{\text{eff}}(r_{0}) = -\frac{2GM}{r_{0}^{3}} + C + \frac{3h^{2}}{r_{0}^{4}}.
Agora usamos a condição de equilíbrio para escrever h^{2} em termos de r_{0}. A condição V'_{\text{eff}}(r_{0})=0
\frac{GM}{r_{0}^{2}} + C r_{0} - \frac{h^{2}}{r_{0}^{3}} = 0 \quad\Rightarrow\quad h^{2} = r_{0}^{3}\!\left(\frac{GM}{r_{0}^{2}} + C r_{0}\right) = r_{0}GM + C r_{0}^{4}.
Substituindo em V''_{\text{eff}}(r_{0}):
V''_{\text{eff}}(r_{0}) = -\frac{2GM}{r_{0}^{3}} + C + \frac{3}{r_{0}^{4}}\big(r_{0}GM + C r_{0}^{4}\big).
Simplificando:
V''_{\text{eff}}(r_{0}) = -\frac{2GM}{r_{0}^{3}} + C + \frac{3GM}{r_{0}^{3}} + 3C = \frac{GM}{r_{0}^{3}} + 4C.
Para pequenas perturbações radiais a equação aproximada é a de um oscilador harmônico:
\ddot{\rho} + \omega_{r}^{2}\,\rho = 0,
com
\omega_{r}^{2} = V''_{\text{eff}}(r_{0}) = \frac{GM}{r_{0}^{3}} + 4C.
Assim a frequência angular das oscilações radiais é \omega_{r}=\sqrt{\dfrac{GM}{r_{0}^{3}}+4C} e o período das oscilações radiais é
T_{r}=\frac{2\pi}{\omega_{r}} = \frac{2\pi}{\sqrt{\dfrac{GM}{r_{0}^{3}}+4C}}.
Observação: compare com a frequência angular de rotação \Omega=\sqrt{\dfrac{GM}{r_{0}^{3}}+C}. Em particular \omega_{r}>\Omega quando C>0.

Passo 4

Mostrar que órbitas quase circulares são elipses em precessão e determinar a frequência de precessão (e o sentido).
Ideia física simples: para uma órbita quase circular r(t)=r_{0}+\rho(t) com \rho pequeno e oscilando com frequência \omega_{r}, o ângulo \theta cresce aproximadamente com taxa média \Omega. Assim os instantes em que r atinge mínimo (periélio) ocorrem com período radial T_{r}=2\pi/\omega_{r}, e entre dois periélios consecutivos o ângulo mudou de
\Delta\theta = \Omega T_{r} = 2\pi\,\frac{\Omega}{\omega_{r}}.
Se \Delta\theta \ne 2\pi, o periélio não volta ao mesmo ângulo: há precessão. O avanço do periélio por período radial é
\Delta\varpi = \Delta\theta - 2\pi = 2\pi\!\left(\frac{\Omega}{\omega_{r}}-1\right).
A taxa (frequência angular) de precessão por unidade de tempo é
\dot{\varpi}=\frac{\Delta\varpi}{T_{r}}=\frac{2\pi\left(\dfrac{\Omega}{\omega_{r}}-1\right)}{2\pi/\omega_{r}}=\Omega-\omega_{r}.
Portanto a frequência de precessão é
\omega_{\text{prec}}=\Omega-\omega_{r} = \sqrt{\frac{GM}{r_{0}^{3}}+C}\;-\;\sqrt{\frac{GM}{r_{0}^{3}}+4C}.
Como \sqrt{\dfrac{GM}{r_{0}^{3}}+4C}>\sqrt{\dfrac{GM}{r_{0}^{3}}+C} para C>0, tem-se \omega_{\text{prec}}<0. Isto significa que a precessão é no sentido oposto ao da velocidade angular orbital (ou seja, retrograda).
Para ter uma expressão simples quando C é pequeno em comparação com \dfrac{GM}{r_{0}^{3}} (caso do enunciado: a força adicional é muito pequena), façamos uma expansão em C até primeira ordem. Defina n_{K}=\sqrt{\dfrac{GM}{r_{0}^{3}}} (frequência Kepleriana sem o termo C). Usando \sqrt{n_{K}^{2}+\alpha C}\approx n_{K}+\dfrac{\alpha C}{2n_{K}} para pequeno C, obtemos
\Omega \approx n_{K} + \frac{C}{2n_{K}},\qquad \omega_{r} \approx n_{K} + \frac{4C}{2n_{K}} = n_{K} + \frac{2C}{n_{K}}.
Logo, em primeira ordem em C,
\omega_{\text{prec}}=\Omega-\omega_{r}\approx -\frac{3}{2}\,\frac{C}{n_{K}} = -\frac{3}{2}\,\frac{C}{\sqrt{GM/r_{0}^{3}}}.
Também a precessão por revolução (ângulo por volta) em primeira ordem é
\Delta\varpi \approx 2\pi\left(\frac{\Omega}{\omega_{r}}-1\right) \approx -\frac{3\pi C r_{0}^{3}}{GM}.
Conclusão: órbitas quase circulares são aproximadamente elipses cujo periélio (eixo maior) retrocede (précessão no sentido contrário ao movimento orbital) com frequência dada exatamente por \omega_{\text{prec}}=\sqrt{\dfrac{GM}{r_{0}^{3}}+C}-\sqrt{\dfrac{GM}{r_{0}^{3}}+4C} e, para C pequeno, com aproximação linear \omega_{\text{prec}}\approx -\dfrac{3}{2}C/\sqrt{GM/r_{0}^{3}}.

Resposta

(a) T=\dfrac{2\pi}{\sqrt{\dfrac{GM}{r_{0}^{3}}+C}}
(b) T_{r}=\dfrac{2\pi}{\sqrt{\dfrac{GM}{r_{0}^{3}}+4C}}
(c) A frequência angular de precessão é
\omega_{\text{prec}}=\sqrt{\dfrac{GM}{r_{0}^{3}}+C}\;-\;\sqrt{\dfrac{GM}{r_{0}^{3}}+4C},
que é negativa para C>0 (logo a precessão é retrograda). Para C pequeno a aproximação é
\omega_{\text{prec}}\approx -\frac{3}{2}\,\frac{C}{\sqrt{GM/r_{0}^{3}}} \quad\text{e}\quad \Delta\varpi\\ \text{por volta}\approx -\frac{3\pi C r_{0}^{3}}{GM}.

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