Uma distribuição uniforme de poeira no sistema solar acrescenta, à atração gravitacional do Sol sobre um planeta, uma força adicional
onde
é a massa do planeta,
é uma constante proporcional à constante gravitacional e à densidade da poeira, e
é o vetor posição do Sol ao planeta (ambos tratados como pontos). Essa força adicional é muito pequena em comparação com a força gravitacional direta entre Sol e planeta.
(a) Calcule o período de uma órbita circular de raio
do planeta neste campo combinado.
(b) Calcule o período das oscilações radiais para pequenas perturbações dessa órbita circular.
(c) Mostre que órbitas quase circulares podem ser aproximadas por uma elipse em precessão e determine a frequência de precessão. A precessão ocorre no mesmo sentido ou em sentido oposto ao da velocidade angular orbital?
(a) Calcule o período de uma órbita circular de raio
(b) Calcule o período das oscilações radiais para pequenas perturbações dessa órbita circular.
(c) Mostre que órbitas quase circulares podem ser aproximadas por uma elipse em precessão e determine a frequência de precessão. A precessão ocorre no mesmo sentido ou em sentido oposto ao da velocidade angular orbital?
Passo 1
O enunciado nos dá que, além da atração gravitacional do Sol, o planeta sofre uma força adicional de forma linear em
:
onde
é a massa do planeta,
é uma constante positiva (dimensão de
) e
é o vetor posição do Sol para o planeta. A força gravitacional padrão é a de Newton entre Sol e planeta (trabalharemos por unidade de massa quando conveniente). O enunciado pede três coisas:
- (a) o período de uma órbita circular de raio
nesse campo combinado; - (b) o período das pequenas oscilações radiais em torno dessa órbita circular;
- (c) mostrar que órbitas quase circulares são elipses que precessam, e determinar a frequência da precessão e seu sentido (se é no mesmo sentido da velocidade angular ou no sentido oposto).
Informações relevantes dadas / que usaremos:
- Força total (por unidade de massa) é uma força central radial que combina a gravidade e a força proporcional a
. - Para órbita circular usamos equilíbrio centrípeto entre força radial e
. - Para pequenas oscilações radiais usamos o potencial efetivo e a expansão em torno de
. - Notação que vou usar:
constante gravitacional, massa do Sol, raio, ângulo polar, derivada temporal, raio da órbita circular, velocidade angular da órbita circular , momento angular específico (por unidade de massa), períodos.
Passo 2
Definir a aceleração total por unidade de massa e encontrar a velocidade angular
para a órbita circular de raio
.
A aceleração gravitacional por unidade de massa é
A aceleração associada à força adicional é
Logo a aceleração radial total por unidade de massa é
Para uma órbita circular de raio
a velocidade angular
satisfaz a condição de equilíbrio centrípeto:
Isolando
,
O período orbital
é o tempo para
avançar
, portanto
Comentário didático curto: isso é análogo à lei de Kepler modificada — o termo
acrescenta uma contribuição uniforme à frequência quadrática, porque a força adicional age como um potencial elástico central proporcional a
.
Passo 3
Calcular o período das pequenas oscilações radiais (pequenas perturbações
com
).
Método: trabalhar com o potencial efetivo por unidade de massa e usar a aproximação harmônica para
. Primeiro escrevemos o potencial efetivo por unidade de massa:
onde
é o momento angular específico (por unidade de massa). Para a órbita circular em
vale
(equilíbrio radial), o que nos dá a relação já usada; porém usaremos também
para eliminar termos quando necessário.
Calculemos a derivada segunda do potencial efetivo:
Avaliada em
,
Agora usamos a condição de equilíbrio para escrever
em termos de
. A condição
dá
Substituindo em
:
Simplificando:
Para pequenas perturbações radiais a equação aproximada é a de um oscilador harmônico:
com
Assim a frequência angular das oscilações radiais é
e o período das oscilações radiais é
Observação: compare com a frequência angular de rotação
. Em particular
quando
.
Passo 4
Mostrar que órbitas quase circulares são elipses em precessão e determinar a frequência de precessão (e o sentido).
Ideia física simples: para uma órbita quase circular
com
pequeno e oscilando com frequência
, o ângulo
cresce aproximadamente com taxa média
. Assim os instantes em que
atinge mínimo (periélio) ocorrem com período radial
, e entre dois periélios consecutivos o ângulo mudou de
Se
, o periélio não volta ao mesmo ângulo: há precessão. O avanço do periélio por período radial é
A taxa (frequência angular) de precessão por unidade de tempo é
Portanto a frequência de precessão é
Como
para
, tem-se
. Isto significa que a precessão é no sentido oposto ao da velocidade angular orbital (ou seja, retrograda).
Para ter uma expressão simples quando
é pequeno em comparação com
(caso do enunciado: a força adicional é muito pequena), façamos uma expansão em
até primeira ordem. Defina
(frequência Kepleriana sem o termo
). Usando
para pequeno
, obtemos
Logo, em primeira ordem em
,
Também a precessão por revolução (ângulo por volta) em primeira ordem é
Conclusão: órbitas quase circulares são aproximadamente elipses cujo periélio (eixo maior) retrocede (précessão no sentido contrário ao movimento orbital) com frequência dada exatamente por
e, para
pequeno, com aproximação linear
.
Resposta
(a)
(b)
(c) A frequência angular de precessão é
que é negativa para
(logo a precessão é retrograda). Para
pequeno a aproximação é