Problema 31
Examine o espalhamento produzido por uma força central repulsiva
. Mostre que a seção de choque diferencial é dada por
onde
é a razão
e
é a energia.
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma força central repulsiva
(constante ). - A energia da partícula no infinito é
. - Define-se
, onde é o ângulo de espalhamento.
O que pedem: mostrar que
Passo 2
Primeiro obtenho o potencial associado à força. Para uma força central
vale
. Aqui
, logo
Integrando,
Escolhendo a constante de referência
(não altera a dinâmica para espalhamento), tenho
Observe que
e decresce com
: é um potencial repulsivo, como anunciado.
Passo 3
Declaro as quantidades conservadas úteis:
- Energia (para movimento no infinito a velocidade
) . - Momento angular por unidade de massa
, com . Para uma partícula que vem de muito longe com impacto e velocidade vale
Como
, obtemos
Passo 4
Uso a equação do movimento em coordenadas polares convertida para
. A equação geral é
onde
. Substituindo:
Reagrupando,
Esta é uma equação linear com coeficiente constante. Defino
A solução geral é
Passo 5
Interpretação geométrica:
(ou seja
) ocorre quando o cosseno é zero, isto é para valores de
separados por
. Esses dois
correspondem às direções assintóticas de entrada e saída. Sem interação a separação seria
; com interação a separação efetiva entre assíntotas é
. O ângulo de desvio (ângulo de espalhamento) é então
Defino
. Assim
Passo 6
Agora relaciono
com
. Lembre que
Como
, quadrando e isolando o termo com
:
Logo
Tomando raiz positiva (impacto
):
Passo 7
A seção de choque diferencial (por unidade de ângulo polar) para força central é dada por
Vou calcular isso de modo conveniente passando para a variável
. Note que
, e
É mais simples trabalhar com
. Escrevo
Derivando em
:
Colocando num denominador comum:
pois
. Assim
Portanto
Substituo
encontrado no Passo 6:
Logo
Multiplicando ambos os lados por
(para escrever em termos de
):
que é exatamente a forma pedida.