A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por:
uumax =1-(2 yh)^2
em que h é a distância separando as placas e a origem está situada na linha mediana entre as placas.
Considere um escoamento de água a 15^circ C, commax =0,10 m / s e h=0,1 m.
Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido.

Passo 1

Beleza, seguinte: a gente tem um escoamento laminar entre placas paralelas (distância entre elas é h), com perfil de velocidade dado por
uumax = 1 - l(2yhr)^2,
Aqui o eixo y começa no meio (y=0) e vai até y=±h/2 nas placas. A questão pede a tensão de cisalhamento na placa superior (y=+h/2) e o sentido dela.
Conteúdo envolvido:
- Mecânica dos fluidos: escoamento laminar e perfil de velocidade entre placas.
- Lei de Newton da viscosidade: tau = mu,dudy,
O que vamos precisar:
  1. calcular du/dy a partir do perfil;
  2. valor da viscosidade dinâmica da água a 15 °C (aprox. mu=1,14times10^-3,Pacdot s);
  3. avaliar em y=+h/2 e aplicar tau=mu,du/dy.

Passo 2

Escrevendo explicitamente o perfil em função de y:
u(y) = umaxl[1 - l(tfrac2yhr)^2r] = umaxl(1 - tfrac4y^2h^2r),
Pela lei de Newton da viscosidade, a tensão de cisalhamento no fluido é
tau(y) = mu,dudy,
Então primeiro vamos achar dudy.

Passo 3

Derivando u(y):
dudy = umax,ddyl(1 - tfrac4y^2h^2r) = umaxl(0 - tfrac8yh^2r) = -,8,umax,yh^2,

Passo 4

Agora avaliamos em y = +tfrach2 (placa superior):
dudy|y=+h/2 = -,8,umaxh^2,h2 = -,8,umax2,h = -,4,umaxh,

Passo 5

Substituindo em tau=mu,du/dy, com
umax=0,10,m/s,
h=0,10,m,
mu=1,14times10^-3,Pacdot s:
taul(y=+h/2r) = 1,14times10^-3,l(-4times0,100,10r) = -,4,56times10^-3,Pa,

Passo 6

O sinal “−” significa que, para o fluido, a tensão de cisalhamento naquele ponto está no sentido negativo de x (porque a derivada é negativa).
Mas, se a gente perguntar “qual a tensão que o fluido exerce na placa”, o módulo é
|tau| = 4,56times10^-3,Pa,
e o sentido dessa força sobre a placa é positivo no eixo x (o fluido “puxa” a placa no sentido do escoamento).

Resposta

A tensão de cisalhamento na placa superior tem módulo
boxed4,56times10^-3,Pa
e age no sentido do escoamento (eixo x positivo).

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