A distribuição de velocidade para o escoamento laminar entre placas paralelas é dada por
\frac{u(r)}{u_{\max }}=\left[1-\left(\frac{2 y}{h}\right)^{2}\right]
Onde h é a distância separando as placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considerando o escoamento de água ( \mu=0,00114 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ) com velocidade máxima de 0,05 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e h =5 \mathrm{~mm}. Calcule a força sobre uma seção de 0,3 \mathrm{~m}^{2} da placa inferior.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Perfil de velocidade entre placas paralelas (origem na mediana):
\frac{u(y)}{u_{\max}}=\left[1-\left(\frac{2y}{h}\right)^{2}\right].
  • Viscosidade da água: \mu=0,00114\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.
  • Velocidade máxima: u_{\max}=0,05\\ \mathrm{m/s}.
  • Separação entre placas: h=5\\ \mathrm{mm}.
  • Área da seção da placa inferior sobre a qual calcular a força: A=0,3\\ \mathrm{m^{2}}.
O que se pede:
  • Calcular a força de tração (força de cisalhamento) sobre a seção A da placa inferior.

Passo 2

Entendimento geométrico e onde avaliar:
  • A origem está na linha mediana entre as placas, então as posições das placas são y=+h/2 (placa superior) e y=-h/2 (placa inferior).
  • A força sobre a placa é dada pelo esforço cortante (tensão de cisalhamento) na parede multiplicado pela área. Para um fluido newtoniano a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade na direção normal à parede; portanto devemos avaliar \tau_w=\mu\left.\dfrac{du}{dy}\right|_{y=-h/2}.

Passo 3

Escrever o perfil de velocidade de forma conveniente e derivar:
  • Reescrevendo o perfil:
u(y)=u_{\max}\left(1-\frac{4y^{2}}{h^{2}}\right).
  • Derivando em relação a y:
\frac{du}{dy}=u_{\max}\left(-\frac{8y}{h^{2}}\right).
Explanação breve: a derivada de y^{2} é 2y, e o factor 4/h^{2} multiplica isso, resultando em -u_{\max}\cdot(8y/h^{2}).

Passo 4

Avaliar o gradiente de velocidade na parede inferior e obter a tensão:
  • Avaliar em y=-h/2:
\left.\frac{du}{dy}\right|_{y=-h/2}=u_{\max}\left(-\frac{8(-h/2)}{h^{2}}\right) = u_{\max}\left(\frac{8(h/2)}{h^{2}}\right) = u_{\max}\left(\frac{4}{h}\right).
Passo a passo da simplificação: -8(-h/2)=+4h e \dfrac{4h}{h^{2}}=\dfrac{4}{h}.
  • Para um fluido newtoniano a tensão de cisalhamento na parede é
\tau_{w}=\mu\left.\frac{du}{dy}\right|_{y=-h/2} = \mu\,u_{\max}\left(\frac{4}{h}\right).

Passo 5

Converter unidades e calcular numericamente \tau_{w}:
  • Converter h=5\\ \mathrm{mm}=0,005\\ \mathrm{m}.
  • Calcular o fator \dfrac{4u_{\max}}{h}:
\frac{4u_{\max}}{h}=\frac{4\cdot 0,05}{0,005}=\frac{0,20}{0,005}=40\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Então
\tau_{w}=\mu\cdot 40 = 0,00114\cdot 40=0,0456\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Unidades: \mu em \mathrm{N\cdot s/m^{2}} vezes \mathrm{s^{-1}} \mathrm{N/m^{2}} (Pascal).

Passo 6

Calcular a força sobre a área A:
  • A força de cisalhamento sobre a área A é
F=\tau_{w}\,A.
  • Substituindo os valores:
F=0,0456\\ \mathrm{N/m^{2}}\times 0,3\\ \mathrm{m^{2}}=0,01368\\ \mathrm{N}.
Comentário final: a força é muito pequena (da ordem de centésimos de newton). A direção da força é tangencial à placa, oposta ao sentido do escoamento imediato na vizinhança da placa.

Resposta

F=0,01368\\ \mathrm{N}

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