Um fluido escoa em uma tubulação de aço com diâmetro interno d e diâmetro externo D, cuja condutividade térmica é k. Considerando que o fluido perde calor para a parede desta tubulação a uma taxa constante \dot{Q}_{0} e que a parede externa da tubulação troca calor por radiação com um corpo negro à temperatura T_{c n}, responda as questões a seguir sabendo que a superfície externa da tubulação não é cinzenta nem difusa:
a. Quais são as possíveis hipóteses simplificadoras para este problema, e quais considerações podem ser feitas em relação às propriedades radiativas da superfície em seus diferentes níveis?
b. De acordo com as hipóteses simplificadoras cabíveis, qual é a temperatura da superfície externa desta tubulação ( T_{S} )? (Faça um balanço global de energia)
c. Como ficarão as distribuições de temperatura e de fluxo de calor na espessura da parede desta tubulação T(r) e \dot{q}^{\prime \prime}(r) ? Faça um esboço dos resultados e expresse-os também em termos da resistência térmica de condução da parede cilíndrica.

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado pede e quais são as informações fornecidas (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Tubulação de aço com diâmetro interno d e diâmetro externo D.
    • Condutividade térmica da parede: k.
    • O fluido perde calor para a parede à taxa constante \dot{Q}_{0}.
    • A superfície externa da tubulação troca calor por radiação com um corpo negro à temperatura T_{cn}.
    • A superfície externa não é cinzenta nem difusa (isto é, emissividade depende de comprimento de onda e direção).
  • Observações que eu assumirei para poder dar fórmulas úteis (explicito logo que isso é uma hipótese — se quiser outra hipótese, eu adaptarei):
    • Vou interpretar \dot{Q}_{0} como a taxa de calor entregue à parede por unidade de comprimento axial (unidade \mathrm{W/m}). Se \dot{Q}_{0} for o total em um trecho de comprimento L, basta usar \dot{Q}_{0}/L nos balanços por unidade de comprimento.
    • Defino os raios interno e externo: R_i=\frac{d}{2},\qquad R_o=\frac{D}{2}.
  • O enunciado pede três itens:
    a) listar hipóteses simplificadoras possíveis e discutir níveis de tratamento das propriedades radiativas da superfície;
    b) sob hipóteses cabíveis, achar a temperatura da superfície externa T_S (fazer balanço global de energia);
    c) obter as distribuições de temperatura T(r) e de fluxo de calor \dot{q}^{\prime\prime}(r) na espessura da parede, esboçar os resultados e expressar em termos da resistência térmica de condução da parede cilíndrica.

Passo 2

Quais hipóteses simplificadoras são possíveis (lista e breve explicação do quando são razoáveis).
  • Hipóteses geométricas e térmicas usuais:
    1. Estado estacionário (regime permanente): as temperaturas não dependem do tempo. Razoável se o problema já está estabilizado e a taxa \dot{Q}_{0} é constante no tempo.
    2. Transferência unidimensional radial (sem variação axial nem azimutal): T=T(r). Razoável quando variação ao longo do comprimento é pequena e o escoamento/potência térmica são uniformes axialmente.
    3. Propriedades constantes (condutividade k independente da T): razoável para variações de temperatura moderadas.
    4. Superfícies perfeitamente isótropas e a parede homogênea (não há geração volumétrica na parede além do calor que vem do fluido).
    5. O ambiente que “vê” a superfície externa é grande e atua como corpo negro a T_{cn} (view factor efetivamente igual a 1 para radiação do tubo para o ambiente).
  • Hipóteses sobre o processo de acoplamento fluido–parede:
    • Caso 1: o calor é fornecido diretamente e uniformemente à parede interna — isto é, a interface fluido/parede recebe a taxa \dot{Q}_{0} (conveniência matemática). Não é necessário modelar uma resistência convectiva interna se a informação é já \dot{Q}_{0}.
    • Caso 2 (menos simplificador): incluir convecção interna com coeficiente h_i, relacionando temperatura do fluido à temperatura da superfície interna. Isso adiciona uma resistência convectiva interna R_{conv,i}=1/(2\pi R_i h_i).

Passo 3

Níveis de tratamento das propriedades radiativas da superfície e quando cada nível é usado.
  • Modelo exato (mais complexo): espectral e angular, ou seja, emissividade \varepsilon(\lambda,\theta,\varphi) depende do comprimento de onda \lambda e da direção (\theta,\varphi). Requer integrar a emissão e a reflexão sobre espectro e direção e conhecer o espectro do corpo negro ambiente. Usado quando a superfície é fortemente não-cinzenta e a precisão espectral é crítica (p.ex. altas temperaturas e superfícies revestidas com comportamento espectral conhecido).
  • Modelo intermediário (mais prático): superfície não-cinzenta mas tratada por uma emissividade efetiva espectral média \varepsilon_{\mathrm{eff}} (modelo “gray efetivo”). A superfície ainda pode ser especular ou parcialmente difusa; quando o ambiente é grande e absorvente (corpo negro) o efeito da direção/reflexão pode ser incorporado em \varepsilon_{\mathrm{eff}}.
  • Modelo simplificado (muito usado em problemas de prova): superfície considerada cinzenta e difusa com emissividade \varepsilon (constante, independente de \lambda e direção). Então a perda por radiação por unidade de área externa é \varepsilon\sigma\bigl(T_S^4-T_{cn}^4\bigr). Este modelo é apropriado quando não se tem dados espectrais e se busca fórmula fechada.
  • Linearização da radiação: quando as diferenças de temperatura são pequenas, aproximar T_S^4-T_{cn}^4\approx 4T_m^3 (T_S-T_{cn}) com T_m temperatura média — isso permite tratar a radiação como um “coeficiente convectivo radiativo” h_r=4\sigma T_m^3.
Comentário prático: como o enunciado diz que a superfície não é cinzenta nem difusa, a descrição exata exige informação espectral/angula r e é complexa. Para obter uma solução útil em prova, a hipótese padrão é substituir por uma emissividade efetiva \varepsilon (modelo gray-difuso) e resolver; depois discutir que, se dados espectrais estivessem disponíveis, seria necessário integrar espectralmente e incluir funções angulares.

Passo 4

Escolha do método de resolução (explicação): por que usar condução radial 1D + radiação gray-difusa.
  • Raciocínio: queremos uma fórmula fechada para T_S, T(r) e \dot{q}^{\prime\prime}(r) que o aluno consiga aplicar na prova sem dados espectrais. O método mais direto e didático é:
    • assumir regime estacionário e condução radial unidimensional na parede;
    • tratar a superfície externa por um emissividade efetiva \varepsilon (modelo gray e difuso) e usar a lei de Stefan–Boltzmann;
    • usar o balanço de energia por unidade de comprimento: calor que entra pela parede ( \dot{Q}_{0} ) = calor que sai por radiação da superfície externa.
  • Esse método é o padrão em cursos de transferência de calor e fornece expressões analíticas simples.

Passo 5

Balanço de energia global e solução para T_S (fase radiação externa assumida gray-difusa).
  • Balanço global por unidade de comprimento (regime estacionário):
    • Todo o calor entregue pelo fluido à parede (por unidade de comprimento) \dot{Q}_{0} deve ser emitido por radiação pela superfície externa (assumindo nenhuma acumulação e nenhuma outra via de perda): \dot{Q}_{0} \;=\; \text{potência radiada por unidade de comprimento}.ê
    • A potência radiada por unidade de comprimento da superfície externa, com emissividade efetiva \varepsilon e supondo o ambiente atuando como corpo negro a T_{cn}, vale \dot{Q}_{rad} \;=\; \left(2\pi R_o\right)\, \varepsilon\,\sigma\bigl(T_S^{4}-T_{cn}^{4}\bigr),onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann.
  • Igualando:
    \dot{Q}_{0} \;=\; 2\pi R_o \,\varepsilon\,\sigma\bigl(T_S^{4}-T_{cn}^{4}\bigr).
  • Resolvendo explicitamente para T_S:
    T_S \;=\; \biggl( T_{cn}^{4} + \dfrac{\dot{Q}_{0}}{2\pi R_o \,\varepsilon\,\sigma}\biggr)^{1/4}.
    Esta é a expressão direta e não linear para a temperatura da superfície externa, sob as hipóteses adotadas.
  • Alternativa (linearizada, útil para obter diferença de temperatura): se |T_S-T_{cn}| for pequeno, usar T_S^{4}-T_{cn}^{4}\approx 4T_m^{3}(T_S-T_{cn}) com T_m uma temperatura média (por exemplo T_m\approx (T_S+T_{cn})/2 ou simplesmente T_{cn} se T_S não se desvia muito). Então define-se o coeficiente radiativo
    h_r \equiv 4\sigma T_m^{3},
    e o balanço fica linear:
    \dot{Q}_{0} \approx 2\pi R_o \,\varepsilon\, h_r \, (T_S-T_{cn}).
    Dessa forma
    T_S-T_{cn} \approx \dfrac{\dot{Q}_{0}}{2\pi R_o\,\varepsilon\,h_r}.

Passo 6

Condução radial na espessura da parede: derivação da distribuição T(r).
  • Equação diferencial para condução radial em regime estacionário, sem geração volumétrica na parede: a potência por unidade de comprimento que atravessa uma superfície cilíndrica de raio r é constante e igual a \dot{Q}_{0}. Relacionando com gradiente térmico, \dot{Q}_{0} \;=\; -\,2\pi r\,k\,\frac{dT}{dr}.
  • Isolando o gradiente: \frac{dT}{dr} \;=\; -\,\frac{\dot{Q}_{0}}{2\pi k}\,\frac{1}{r}.
  • Integrando (integração elementar): T(r) \;=\; -\,\frac{\dot{Q}_{0}}{2\pi k}\,\ln r + C,onde C é constante de integração.
  • Aplicando a condição de contorno externa T(R_o)=T_S (já determinada no passo anterior), obtemos T(r) \;=\; T_S \;+\; \frac{\dot{Q}_{0}}{2\pi k}\,\ln\!\biggl(\frac{R_o}{r}\biggr).Em particular, a temperatura na superfície interna ( r=R_i) fica T(R_i)=T_i \;=\; T_S \;+\; \frac{\dot{Q}_{0}}{2\pi k}\,\ln\!\biggl(\frac{R_o}{R_i}\biggr).

Passo 7

Expressão do fluxo de calor radial por unidade de área \dot{q}^{\prime\prime}(r) e verificação.
  • A densidade de fluxo radial (magnitude) em uma superfície cilíndrica de raio r é \dot{q}^{\prime\prime}(r) \;=\; \frac{\dot{Q}_{0}}{2\pi r}.(Unidade \mathrm{W/m^{2}}.)
  • Observações de consistência:
    • Em r=R_o, a densidade de fluxo superficial calculada pela condução é \dot{q}^{\prime\prime}(R_o)=\dfrac{\dot{Q}_{0}}{2\pi R_o}, que deve coincidir com a densidade de fluxo radiativa usada no balanço: \dot{q}^{\prime\prime}(R_o)=\varepsilon\,\sigma\bigl(T_S^{4}-T_{cn}^{4}\bigr).Isso é coerente com a equação do Passo 5, porque multiplicando esta igualdade por 2\pi R_o obtemos exatamente \dot{Q}_{0}=2\pi R_o\varepsilon\sigma(T_S^4-T_{cn}^4).

Passo 8

Expressar em termos da resistência térmica de condução da parede cilíndrica.
  • Resistência de condução por unidade de comprimento (entre R_i e R_o): R_{cond} \;=\; \frac{\ln\!\bigl(R_o/R_i\bigr)}{2\pi k}.
  • A diferença de temperatura interna-externa pode ser escrita simplesmente como T_i - T_S \;=\; \dot{Q}_{0}\,R_{cond}.Portanto as expressões compactas são: T_S \;=\; \biggl( T_{cn}^{4} + \dfrac{\dot{Q}_{0}}{2\pi R_o \,\varepsilon\,\sigma}\biggr)^{1/4}, \qquad T_i \;=\; T_S + \dot{Q}_{0}\,R_{cond},e T(r)=T_S+\dot{Q}_{0}\,\frac{\ln(R_o/r)}{2\pi k},\qquad \dot{q}^{\prime\prime}(r)=\frac{\dot{Q}_{0}}{2\pi r}.

Passo 9

Esboço qualitativo dos resultados (como desenhar na prova e interpretações finais).
  • Esboço de T(r): temperatura decresce logaritmicamente do interior para a superfície externa (se \dot{Q}_{0}>0 calor flui do fluido para o ambiente). No gráfico T vs r (eixo vertical T, horizontal r) a curva é do tipo C-\ln r, mais alta em r=R_i e mais baixa em r=R_o. Se quiser desenhar, coloque dois pontos: T_i em R_i e T_S em R_o e uma curva suave decrescente entre eles.
  • Esboço de \dot{q}^{\prime\prime}(r): densidade de fluxo cai como 1/r. Em r=R_i é maior e em r=R_o é menor, com \dot{q}^{\prime\prime}(R_o)=\varepsilon\sigma(T_S^4-T_{cn}^4).
  • Interpretações práticas:
    • Quanto maior a emissividade \varepsilon, menor será T_S necessário para radiar \dot{Q}_{0}.
    • Uma parede de maior espessura (maior \ln(R_o/R_i)) aumenta R_{cond} e aumenta T_i-T_S, ou seja, a parede fica com gradação térmica maior.
    • Se a superfície for fortemente não-cinzenta ou não-difusa, a expressão direta para T_S deve ser substituída por uma integral espectral e/ou por um cálculo com funções de distribuição angular; porém, na maioria dos problemas de prova a aproximação gray-difusa é aceita.

Passo 10

Observações finais e limitações do modelo.
  • Se for desejado incluir convecção interna (se \dot{Q}_{0} não for fornecido diretamente) com coeficiente h_i, então o balanço e a resistência total por unidade de comprimento ficam: R_{tot}= \frac{1}{2\pi R_i h_i} + R_{cond} + \frac{1}{2\pi R_o \varepsilon h_r}\quad(\text{com }h_r\text{ se linearizar a radiação}),çãe \dot{Q}_{0}=(T_{fluido}-T_{cn})/R_{tot} no caso linearizado.
  • Se a superfície realmente for não-cinzenta/não-difusa e se quiser precisão, é necessário conhecer \varepsilon(\lambda,\theta) e realizar integração espectral angular, ou calcular uma emissividade efetiva a partir de medidas/curvas fornecidas.

Resposta

(a) Possíveis hipóteses: regime estacionário; condução unidimensional radial; propriedades constantes; parede homogênea; o calor fornecido pelo fluido é \dot{Q}_{0} por unidade de comprimento (ou usar \dot{Q}_{0}/L se dado total em comprimento L). Níveis de tratamento radiativo: modelo exato espectral-angular ( \varepsilon(\lambda,\theta,\varphi)); modelo intermediário com emissividade efetiva \varepsilon_{\mathrm{eff}}; modelo simplificado gray-difuso com emissividade \varepsilon (usado para obter fórmulas fechadas); possibilidade de linearizar a radiação com h_r=4\sigma T_m^3 para diferenças pequenas de temperatura.
(b) Sob hipóteses gray-difuso e vista do ambiente como corpo negro, a temperatura da superfície externa é
T_S \;=\; \biggl( T_{cn}^{4} + \dfrac{\dot{Q}_{0}}{2\pi R_o \,\varepsilon\,\sigma}\biggr)^{1/4},
com R_o=D/2. (Alternativamente, linearizando T_S-T_{cn}\approx \dfrac{\dot{Q}_{0}}{2\pi R_o\,\varepsilon\,h_r} com h_r=4\sigma T_m^3.)
(c) Distribuições e relação com resistência de condução:
T(r)=T_S+\frac{\dot{Q}_{0}}{2\pi k}\ln\!\biggl(\frac{R_o}{r}\biggr), \qquad \dot{q}^{\prime\prime}(r)=\frac{\dot{Q}_{0}}{2\pi r},
com R_i=d/2, R_o=D/2 e resistência de condução por unidade de comprimento
R_{cond}=\frac{\ln(R_o/R_i)}{2\pi k},
de modo que
T_i-T_S=\dot{Q}_{0}\,R_{cond}.

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