Um fluido escoa em uma tubulação de aço com diâmetro interno
e diâmetro externo
, cuja condutividade térmica é
. Considerando que o fluido perde calor para a parede desta tubulação a uma taxa constante
e que a parede externa da tubulação troca calor por radiação com um corpo negro à temperatura
, responda as questões a seguir sabendo que a superfície externa da tubulação não é cinzenta nem difusa:
a. Quais são as possíveis hipóteses simplificadoras para este problema, e quais considerações podem ser feitas em relação às propriedades radiativas da superfície em seus diferentes níveis?
b. De acordo com as hipóteses simplificadoras cabíveis, qual é a temperatura da superfície externa desta tubulação (
)? (Faça um balanço global de energia)
c. Como ficarão as distribuições de temperatura e de fluxo de calor na espessura da parede desta tubulação
e
? Faça um esboço dos resultados e expresse-os também em termos da resistência térmica de condução da parede cilíndrica.
a. Quais são as possíveis hipóteses simplificadoras para este problema, e quais considerações podem ser feitas em relação às propriedades radiativas da superfície em seus diferentes níveis?
b. De acordo com as hipóteses simplificadoras cabíveis, qual é a temperatura da superfície externa desta tubulação (
c. Como ficarão as distribuições de temperatura e de fluxo de calor na espessura da parede desta tubulação
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado pede e quais são as informações fornecidas (sem resolver ainda).
- Dados fornecidos:
- Tubulação de aço com diâmetro interno
e diâmetro externo . - Condutividade térmica da parede:
. - O fluido perde calor para a parede à taxa constante
. - A superfície externa da tubulação troca calor por radiação com um corpo negro à temperatura
. - A superfície externa não é cinzenta nem difusa (isto é, emissividade depende de comprimento de onda e direção).
- Tubulação de aço com diâmetro interno
- Observações que eu assumirei para poder dar fórmulas úteis (explicito logo que isso é uma hipótese — se quiser outra hipótese, eu adaptarei):
- Vou interpretar
como a taxa de calor entregue à parede por unidade de comprimento axial (unidade ). Se for o total em um trecho de comprimento , basta usar nos balanços por unidade de comprimento. - Defino os raios interno e externo:
- Vou interpretar
- O enunciado pede três itens:
a) listar hipóteses simplificadoras possíveis e discutir níveis de tratamento das propriedades radiativas da superfície;
b) sob hipóteses cabíveis, achar a temperatura da superfície externa(fazer balanço global de energia);
c) obter as distribuições de temperaturae de fluxo de calor na espessura da parede, esboçar os resultados e expressar em termos da resistência térmica de condução da parede cilíndrica.
Passo 2
Quais hipóteses simplificadoras são possíveis (lista e breve explicação do quando são razoáveis).
-
Hipóteses geométricas e térmicas usuais:
- Estado estacionário (regime permanente): as temperaturas não dependem do tempo. Razoável se o problema já está estabilizado e a taxa
é constante no tempo. - Transferência unidimensional radial (sem variação axial nem azimutal):
. Razoável quando variação ao longo do comprimento é pequena e o escoamento/potência térmica são uniformes axialmente. - Propriedades constantes (condutividade
independente da ): razoável para variações de temperatura moderadas. - Superfícies perfeitamente isótropas e a parede homogênea (não há geração volumétrica na parede além do calor que vem do fluido).
- O ambiente que “vê” a superfície externa é grande e atua como corpo negro a
(view factor efetivamente igual a 1 para radiação do tubo para o ambiente).
- Estado estacionário (regime permanente): as temperaturas não dependem do tempo. Razoável se o problema já está estabilizado e a taxa
-
Hipóteses sobre o processo de acoplamento fluido–parede:
- Caso 1: o calor é fornecido diretamente e uniformemente à parede interna — isto é, a interface fluido/parede recebe a taxa
(conveniência matemática). Não é necessário modelar uma resistência convectiva interna se a informação é já . - Caso 2 (menos simplificador): incluir convecção interna com coeficiente
, relacionando temperatura do fluido à temperatura da superfície interna. Isso adiciona uma resistência convectiva interna .
- Caso 1: o calor é fornecido diretamente e uniformemente à parede interna — isto é, a interface fluido/parede recebe a taxa
Passo 3
Níveis de tratamento das propriedades radiativas da superfície e quando cada nível é usado.
- Modelo exato (mais complexo): espectral e angular, ou seja, emissividade
depende do comprimento de onda e da direção . Requer integrar a emissão e a reflexão sobre espectro e direção e conhecer o espectro do corpo negro ambiente. Usado quando a superfície é fortemente não-cinzenta e a precisão espectral é crítica (p.ex. altas temperaturas e superfícies revestidas com comportamento espectral conhecido). - Modelo intermediário (mais prático): superfície não-cinzenta mas tratada por uma emissividade efetiva espectral média
(modelo “gray efetivo”). A superfície ainda pode ser especular ou parcialmente difusa; quando o ambiente é grande e absorvente (corpo negro) o efeito da direção/reflexão pode ser incorporado em . - Modelo simplificado (muito usado em problemas de prova): superfície considerada cinzenta e difusa com emissividade
(constante, independente de e direção). Então a perda por radiação por unidade de área externa é . Este modelo é apropriado quando não se tem dados espectrais e se busca fórmula fechada. - Linearização da radiação: quando as diferenças de temperatura são pequenas, aproximar
com temperatura média — isso permite tratar a radiação como um “coeficiente convectivo radiativo” .
Comentário prático: como o enunciado diz que a superfície não é cinzenta nem difusa, a descrição exata exige informação espectral/angula r e é complexa. Para obter uma solução útil em prova, a hipótese padrão é substituir por uma emissividade efetiva
(modelo gray-difuso) e resolver; depois discutir que, se dados espectrais estivessem disponíveis, seria necessário integrar espectralmente e incluir funções angulares.
Passo 4
Escolha do método de resolução (explicação): por que usar condução radial 1D + radiação gray-difusa.
- Raciocínio: queremos uma fórmula fechada para
, e que o aluno consiga aplicar na prova sem dados espectrais. O método mais direto e didático é: - assumir regime estacionário e condução radial unidimensional na parede;
- tratar a superfície externa por um emissividade efetiva
(modelo gray e difuso) e usar a lei de Stefan–Boltzmann; - usar o balanço de energia por unidade de comprimento: calor que entra pela parede (
) = calor que sai por radiação da superfície externa.
- Esse método é o padrão em cursos de transferência de calor e fornece expressões analíticas simples.
Passo 5
Balanço de energia global e solução para
(fase radiação externa assumida gray-difusa).
-
Balanço global por unidade de comprimento (regime estacionário):
- Todo o calor entregue pelo fluido à parede (por unidade de comprimento)
deve ser emitido por radiação pela superfície externa (assumindo nenhuma acumulação e nenhuma outra via de perda): - A potência radiada por unidade de comprimento da superfície externa, com emissividade efetiva
e supondo o ambiente atuando como corpo negro a , vale onde é a constante de Stefan–Boltzmann.
- Todo o calor entregue pelo fluido à parede (por unidade de comprimento)
-
Igualando:
-
Resolvendo explicitamente para
: Esta é a expressão direta e não linear para a temperatura da superfície externa, sob as hipóteses adotadas. -
Alternativa (linearizada, útil para obter diferença de temperatura): se
for pequeno, usar com uma temperatura média (por exemplo ou simplesmente se não se desvia muito). Então define-se o coeficiente radiativo e o balanço fica linear:Dessa forma
Passo 6
Condução radial na espessura da parede: derivação da distribuição
.
- Equação diferencial para condução radial em regime estacionário, sem geração volumétrica na parede: a potência por unidade de comprimento que atravessa uma superfície cilíndrica de raio
é constante e igual a . Relacionando com gradiente térmico, - Isolando o gradiente:
- Integrando (integração elementar):
onde é constante de integração. - Aplicando a condição de contorno externa
(já determinada no passo anterior), obtemos Em particular, a temperatura na superfície interna ( ) fica
Passo 7
Expressão do fluxo de calor radial por unidade de área
e verificação.
- A densidade de fluxo radial (magnitude) em uma superfície cilíndrica de raio
é (Unidade .) - Observações de consistência:
- Em
, a densidade de fluxo superficial calculada pela condução é , que deve coincidir com a densidade de fluxo radiativa usada no balanço: Isso é coerente com a equação do Passo 5, porque multiplicando esta igualdade por obtemos exatamente .
- Em
Passo 8
Expressar em termos da resistência térmica de condução da parede cilíndrica.
- Resistência de condução por unidade de comprimento (entre
e ): - A diferença de temperatura interna-externa pode ser escrita simplesmente como
Portanto as expressões compactas são: e
Passo 9
Esboço qualitativo dos resultados (como desenhar na prova e interpretações finais).
- Esboço de
: temperatura decresce logaritmicamente do interior para a superfície externa (se calor flui do fluido para o ambiente). No gráfico vs (eixo vertical , horizontal ) a curva é do tipo , mais alta em e mais baixa em . Se quiser desenhar, coloque dois pontos: em e em e uma curva suave decrescente entre eles. - Esboço de
: densidade de fluxo cai como . Em é maior e em é menor, com . - Interpretações práticas:
- Quanto maior a emissividade
, menor será necessário para radiar . - Uma parede de maior espessura (maior
) aumenta e aumenta , ou seja, a parede fica com gradação térmica maior. - Se a superfície for fortemente não-cinzenta ou não-difusa, a expressão direta para
deve ser substituída por uma integral espectral e/ou por um cálculo com funções de distribuição angular; porém, na maioria dos problemas de prova a aproximação gray-difusa é aceita.
- Quanto maior a emissividade
Passo 10
Observações finais e limitações do modelo.
- Se for desejado incluir convecção interna (se
não for fornecido diretamente) com coeficiente , então o balanço e a resistência total por unidade de comprimento ficam: e no caso linearizado. - Se a superfície realmente for não-cinzenta/não-difusa e se quiser precisão, é necessário conhecer
e realizar integração espectral angular, ou calcular uma emissividade efetiva a partir de medidas/curvas fornecidas.
Resposta
(a) Possíveis hipóteses: regime estacionário; condução unidimensional radial; propriedades constantes; parede homogênea; o calor fornecido pelo fluido é
por unidade de comprimento (ou usar
se dado total em comprimento
). Níveis de tratamento radiativo: modelo exato espectral-angular (
); modelo intermediário com emissividade efetiva
; modelo simplificado gray-difuso com emissividade
(usado para obter fórmulas fechadas); possibilidade de linearizar a radiação com
para diferenças pequenas de temperatura.
(b) Sob hipóteses gray-difuso e vista do ambiente como corpo negro, a temperatura da superfície externa é
(b) Sob hipóteses gray-difuso e vista do ambiente como corpo negro, a temperatura da superfície externa é
com
. (Alternativamente, linearizando
com
.)
(c) Distribuições e relação com resistência de condução:
(c) Distribuições e relação com resistência de condução:
com
,
e resistência de condução por unidade de comprimento
de modo que