Duas superfícies isotérmicas, opacas, planas e paralelas, com temperaturas
e
trocam calor por radiação. Assumindo que as superfícies sejam suficientemente extensas e estejam suficientemente próximas para que se possa considerar que toda radiação que deixa uma superfície é interceptada pela outra e vice-versa, responda:
a. Quais são os valores de fator de forma
e
? Como as hipóteses que foram assumidas garantem matematicamente tais valores?
b. Quais são as expressões para calcular a irradiação espectral sobre cada superfície em função da emissão espectral de cada superfície e de suas propriedades espectrais hemisféricas?
c. Considerando que as duas superfícies sejam difusas e que suas absortividades espectrais hemisféricas sejam dadas por:
Calcule os valores de refletividade, transmissividade e emissividade espectrais hemisféricas para as superfícies. Essas superfícies são cinzentas?
d. Quais são os valores absortividade, emissividade, transmissividade e refletividade totais hemisféricas destas superfícies? Expresse em termos de fração de radiação (emissão em banda).
e. Qual é a taxa líquida de transferência de calor entre essas superfícies?
a. Quais são os valores de fator de forma
b. Quais são as expressões para calcular a irradiação espectral sobre cada superfície em função da emissão espectral de cada superfície e de suas propriedades espectrais hemisféricas?
c. Considerando que as duas superfícies sejam difusas e que suas absortividades espectrais hemisféricas sejam dadas por:
d. Quais são os valores absortividade, emissividade, transmissividade e refletividade totais hemisféricas destas superfícies? Expresse em termos de fração de radiação (emissão em banda).
e. Qual é a taxa líquida de transferência de calor entre essas superfícies?
Passo 1
O enunciado e o que se pede (resumo claro e lista de dados):
- Temos duas superfícies planas, opacas, isotérmicas, difusas (no item c passa a ser explícito “difusas”), paralelas e suficientemente extensas e próximas tal que toda radiação que sai de uma atinge a outra e vice‑versa.
- Propriedades espectrais hemisféricas (em geral dependem de
): absortividade , refletividade , transmissividade e emissividade . As superfícies são opacas ( ). - Emissão espectral de cada superfície: denote
e (potência emitida por unidade de área por unidade de comprimento de onda; para corpo real difuso , onde é a emissão espectral de corpo negro). - Hipótese geométrica implica que o fator de forma entre as duas superfícies é total (toda radiação sai de uma e atinge a outra).
O que se pede:
a. Valores dee e justificar matematicamente a partir das hipóteses.
b. Expressões para a irradiação espectral sobre cada superfície em função das emissões espectrais e das propriedades espectrais hemisféricas.
c. Dadaspara e para , calcular , e . Dizer se as superfícies são cinzentas.
d. Expressar as propriedades totais hemisféricas (absorptividade, emissividade, transmissividade, refletividade) em termos das frações de radiação (fração de emissão/irradiância na banda).
e. Taxa líquida de transferência de calor entre as superfícies (expressão final).
Passo 2
Explicações de conceitos essenciais (didática curta e concreta, para poder usar nas fórmulas):
- Fator de forma
: fração da radiação que deixa a superfície e atinge a superfície . Tem propriedades: e reciprocity . - Irradiação espectral
: potência espectral incidente por unidade de área sobre a superfície (unidade W·m{-2}·m{-1} em termos de comprimento de onda). - Radiosidade espectral
: potência espectral que sai da superfície (emitida + refletida):
onde
é emissão espectral da superfície (emitida para o hemisfério).
- Para superfícies difusas e opacas:
e, por conservação de energia,
- Lei de Kirchhoff (local, espectral, para superfícies em equilíbrio térmico): para cada
, a emissividade espectral hemisférica iguala a absortividade espectral:
Isto permite relacionar emissividade e refletividade por
.
- Relação entre irradiação e radiosidade com fatores de forma (enclosure com apenas duas superfícies):
Aqui só há as duas superfícies, então
e
.
Passo 3
Resposta a) Cálculo e justificativa dos fatores de forma
e
:
- Hipótese geométrica: “todas as radiações que deixam uma superfície são interceptadas pela outra e vice‑versa”. Por definição isso significa que a fração da radiação que deixa
e atinge é . Analogamente . - Verificação pela reciprocity: para áreas
e finitas a reciprocity dá . Se as superfícies são “suficientemente extensas” e típicas são iguais em área ou tratadas por unidade de área, o enunciado geométrico já força . Em resumo:
Isto está garantido matematicamente pela hipótese “cada raio que sai de uma é interceptado pela outra” que é a definição operacional de
.
Passo 4
Resposta b) Equações espectrais completas (montagem do sistema e solução algebraica):
- Relacionamentos básicos (para cada
- Com apenas duas superfícies e
:
- Substituindo em
:
- Escrevemos o sistema linear (duas equações nas incógnitas
e ):
- Resolver o sistema por inversão (determinante
e
, as irradiações espectrais são:
Estas expressões dão a irradiação espectral sobre cada superfície em função das emissões espectrais
e das refletividades espectrais
. (Se quiser escrever em termos de emissividades
, usar
para superfícies opacas/difusas.)]
Passo 5
Observação prática e forma alternativa útil (forma do fluxo espectral líquido):
- A taxa espectral líquida por unidade de área de A para B (positivo A→B) é simplesmente a diferença de radiosidades:
- Com as soluções acima (e usando
e a identidade ) obtém‑se a forma clássica:
- Para obter a taxa total, integra‑se sobre todo o espectro:
Isto é a expressão geral da taxa líquida entre superfícies espectrais difusas opacas.
Passo 6
Resposta c) Usando os dados
para
e
para
, para superfícies difusas e opacas:
- Como
(opacas),
- Pela lei de Kirchhoff espectral (para cada
) em superfícies difusas:
Logo, para cada
:
- São essas superfícies cinzentas? Não. Definição de superfície “cinzenta”: propriedade espectral (em particular
) independe de . Aqui assume dois valores distintos em faixas de ; portanto não são cinzentas.]
Passo 7
Resposta d) Propriedades totais hemisféricas (expressas por frações de radiação em bandas):
- Definir a fração da radiação incidente (ou emissão) que cai na banda
. Como o enunciado pede “em termos de fração de radiação (emissão em banda)”, introduzimos duas frações (podem ser diferentes para as duas superfícies, pois dependem de suas temperaturas): - Para a radiação emitida pela superfície
(i = A ou B), defina
(fração da emissão total de contida em ). Então é a fração em . - Para a radiação emitida pela superfície
- Total absorptividade hemisférica da superfície
para a radiação com espectro do emissor em questão (ou, em linguagem simples, “absortividade total em função da fração da radiação na banda”):
onde
é a fração da radiação incidente (vinda da outra superfície) na banda
. Se a irradiância incidente for exatamente a emissão da superfície
, então
.
- Pela igualdade espectral
, a emissividade total hemisférica da superfície (pesada pela sua própria emissão espectral) é:
onde agora
é a fração da emissão de
em
(peso para emissividade total).
- Refletividade total hemisférica (para o mesmo espectro de incidência) é
- Transmissividade total hemisférica:
Observação: as expressões acima deixam explícito que as quantidades totais dependem do espectro do campo incidente (via
) e do espectro de emissão do próprio corpo (via
no caso de emissividade total).
Passo 8
Interpretação prática de d) (como calcular
na prova):
- Se as superfícies se comportarem como emissores do tipo
, então pode ser calculado a partir da função de Planck (pesando por quando necessário). Em muitos exercícios práticos, usa‑se aproximação: se corta uma fração conhecida da lei de Stefan‑Boltzmann (ou tabelas), usa‑se esse valor para . - Fórmula explícita para
em termos das integrais:
onde
é a densidade fracionária espectral (isto é,
é uma instância desta relação com
no numerador quando apropriado).
Passo 9
Resposta e) Taxa líquida de transferência de calor entre as superfícies (expressão final e caso especial gray):
- Expressão espectral geral (já apresentada, mas agora explicitamente como resposta do item e):
Isto dá a taxa líquida de calor por unidade de área (positiva A→B), integrando sobre todas as
.
- Se as superfícies forem aproximadas como difusas‑cinzentas (ou seja,
independentemente de ), então a expressão simplifica para a forma clássica:
onde
(lei de Stefan–Boltzmann, por unidade de área hemisférica para emissão total de corpo negro). Assim, em notação habitual:
- No caso espectral fornecido no item c, a forma geral (integração com a expressão dependente de
) deve ser usada; em termos das duas faixas:
se ambas as superfícies tiverem exatamente os mesmos
por faixa (como no caso dado). Simplificar as frações quando conveniente:
Logo a expressão prática é
Isto encerra a forma explícita para o caso dado (quando as duas superfícies têm exatamente os mesmos valores por faixa).
Resposta
a.
b.
c. Para
:
Para :
Não são superfícies cinzentas.
Para
Não são superfícies cinzentas.
d. Em termos da fração
da radiação incidente (na banda
) e da fração
da emissão de
nessa banda:
e. Taxa líquida geral (espectral e integrada):
Para o caso do item c (mesmos níveis por faixa) isso dá
Para o caso do item c (mesmos níveis por faixa) isso dá