Duas superfícies isotérmicas, opacas, planas e paralelas, com temperaturas T_{A} e T_{B} trocam calor por radiação. Assumindo que as superfícies sejam suficientemente extensas e estejam suficientemente próximas para que se possa considerar que toda radiação que deixa uma superfície é interceptada pela outra e vice-versa, responda:
a. Quais são os valores de fator de forma F_{A B} e F_{B A} ? Como as hipóteses que foram assumidas garantem matematicamente tais valores?
b. Quais são as expressões para calcular a irradiação espectral sobre cada superfície em função da emissão espectral de cada superfície e de suas propriedades espectrais hemisféricas?
c. Considerando que as duas superfícies sejam difusas e que suas absortividades espectrais hemisféricas sejam dadas por:
\begin{array}{lr} \alpha_{\lambda}=0.8 & \text { para } 0 \leq \lambda \leq \lambda_{m} \\\ \alpha_{\lambda}=0.1 & \text { para } \lambda>\lambda_{m} \end{array}
Calcule os valores de refletividade, transmissividade e emissividade espectrais hemisféricas para as superfícies. Essas superfícies são cinzentas?
d. Quais são os valores absortividade, emissividade, transmissividade e refletividade totais hemisféricas destas superfícies? Expresse em termos de fração de radiação (emissão em banda).
e. Qual é a taxa líquida de transferência de calor entre essas superfícies?

Passo 1

O enunciado e o que se pede (resumo claro e lista de dados):
  • Temos duas superfícies planas, opacas, isotérmicas, difusas (no item c passa a ser explícito “difusas”), paralelas e suficientemente extensas e próximas tal que toda radiação que sai de uma atinge a outra e vice‑versa.
  • Propriedades espectrais hemisféricas (em geral dependem de \lambda): absortividade \alpha_{\lambda}, refletividade \rho_{\lambda}, transmissividade \tau_{\lambda} e emissividade \epsilon_{\lambda}. As superfícies são opacas ( \tau_{\lambda}=0).
  • Emissão espectral de cada superfície: denote E_{\lambda,A} e E_{\lambda,B} (potência emitida por unidade de área por unidade de comprimento de onda; para corpo real difuso E_{\lambda,i}=\epsilon_{\lambda,i} E_{\lambda,b}(T_i), onde E_{\lambda,b} é a emissão espectral de corpo negro).
  • Hipótese geométrica implica que o fator de forma entre as duas superfícies é total (toda radiação sai de uma e atinge a outra).
    O que se pede:
    a. Valores de F_{AB} e F_{BA} e justificar matematicamente a partir das hipóteses.
    b. Expressões para a irradiação espectral sobre cada superfície em função das emissões espectrais e das propriedades espectrais hemisféricas.
    c. Dadas \alpha_{\lambda}=0,8 para 0\le\lambda\le\lambda_m e \alpha_{\lambda}=0,1 para \lambda>\lambda_m, calcular \rho_{\lambda}, \tau_{\lambda} e \epsilon_{\lambda}. Dizer se as superfícies são cinzentas.
    d. Expressar as propriedades totais hemisféricas (absorptividade, emissividade, transmissividade, refletividade) em termos das frações de radiação (fração de emissão/irradiância na banda 0\le\lambda\le\lambda_m).
    e. Taxa líquida de transferência de calor entre as superfícies (expressão final).

Passo 2

Explicações de conceitos essenciais (didática curta e concreta, para poder usar nas fórmulas):
  • Fator de forma F_{ij}: fração da radiação que deixa a superfície i e atinge a superfície j. Tem propriedades: 0\le F_{ij}\le1 e reciprocity A_i F_{ij}=A_j F_{ji}.
  • Irradiação espectral G_{\lambda,i}: potência espectral incidente por unidade de área sobre a superfície i (unidade W·m{-2}·m{-1} em termos de comprimento de onda).
  • Radiosidade espectral J_{\lambda,i}: potência espectral que sai da superfície (emitida + refletida):
J_{\lambda,i}=E_{\lambda,i}+\rho_{\lambda,i}G_{\lambda,i},
onde E_{\lambda,i} é emissão espectral da superfície (emitida para o hemisfério).
  • Para superfícies difusas e opacas: \tau_{\lambda}=0 e, por conservação de energia,
\alpha_{\lambda,i}+\rho_{\lambda,i}=1.
  • Lei de Kirchhoff (local, espectral, para superfícies em equilíbrio térmico): para cada \lambda, a emissividade espectral hemisférica iguala a absortividade espectral:
\epsilon_{\lambda,i}=\alpha_{\lambda,i}.
Isto permite relacionar emissividade e refletividade por \rho_{\lambda,i}=1-\epsilon_{\lambda,i}.
  • Relação entre irradiação e radiosidade com fatores de forma (enclosure com apenas duas superfícies):
G_{\lambda,i}=\sum_{j}F_{ji} J_{\lambda,j}.
Aqui só há as duas superfícies, então G_{\lambda,A}=F_{BA}J_{\lambda,B} e G_{\lambda,B}=F_{AB}J_{\lambda,A}.

Passo 3

Resposta a) Cálculo e justificativa dos fatores de forma F_{AB} e F_{BA}:
  • Hipótese geométrica: “todas as radiações que deixam uma superfície são interceptadas pela outra e vice‑versa”. Por definição isso significa que a fração da radiação que deixa A e atinge B é F_{AB}=1. Analogamente F_{BA}=1.
  • Verificação pela reciprocity: para áreas A_A e A_B finitas a reciprocity dá A_A F_{AB}=A_B F_{BA}. Se as superfícies são “suficientemente extensas” e típicas são iguais em área ou tratadas por unidade de área, o enunciado geométrico já força F_{AB}=F_{BA}=1. Em resumo:
F_{AB}=1,\qquad F_{BA}=1.
Isto está garantido matematicamente pela hipótese “cada raio que sai de uma é interceptado pela outra” que é a definição operacional de F=1.

Passo 4

Resposta b) Equações espectrais completas (montagem do sistema e solução algebraica):
  1. Relacionamentos básicos (para cada \lambda\)): \[J_{\lambda,i}=E_{\lambda,i}+\rho_{\lambda,i}G_{\lambda,i}, \qquad G_{\lambda,i}=\sum_j F_{ji} J_{\lambda,j}.
  2. Com apenas duas superfícies e F_{AB}=F_{BA}=1:
G_{\lambda,A}=J_{\lambda,B},\qquad G_{\lambda,B}=J_{\lambda,A}.
  1. Substituindo em J:
J_{\lambda,A}=E_{\lambda,A}+\rho_{\lambda,A}J_{\lambda,B},
J_{\lambda,B}=E_{\lambda,B}+\rho_{\lambda,B}J_{\lambda,A}.
  1. Escrevemos o sistema linear (duas equações nas incógnitas J_{\lambda,A} e J_{\lambda,B}):
\begin{cases} J_{\lambda,A}-\rho_{\lambda,A}J_{\lambda,B}=E_{\lambda,A},\\[4pt] -\rho_{\lambda,B}J_{\lambda,A}+J_{\lambda,B}=E_{\lambda,B}. \end{cases}
  1. Resolver o sistema por inversão (determinante D=1-\rho_{\lambda,A}\rho_{\lambda,B}\]): \[J_{\lambda,A}=\dfrac{E_{\lambda,A}+\rho_{\lambda,A}E_{\lambda,B}}{1-\rho_{\lambda,A}\rho_{\lambda,B}}, \qquad J_{\lambda,B}=\dfrac{\rho_{\lambda,B}E_{\lambda,A}+E_{\lambda,B}}{1-\rho_{\lambda,A}\rho_{\lambda,B}}.\] 6) Como \(G_{\lambda,A}=J_{\lambda,B} e G_{\lambda,B}=J_{\lambda,A}, as irradiações espectrais são:
\boxed{% G_{\lambda,A}=\dfrac{\rho_{\lambda,B}E_{\lambda,A}+E_{\lambda,B}}{1-\rho_{\lambda,A}\rho_{\lambda,B}},% \qquad G_{\lambda,B}=\dfrac{E_{\lambda,A}+\rho_{\lambda,A}E_{\lambda,B}}{1-\rho_{\lambda,A}\rho_{\lambda,B}}.}
Estas expressões dão a irradiação espectral sobre cada superfície em função das emissões espectrais E_{\lambda,i} e das refletividades espectrais \rho_{\lambda,i}. (Se quiser escrever em termos de emissividades \epsilon_{\lambda,i}, usar \rho_{\lambda,i}=1-\epsilon_{\lambda,i} para superfícies opacas/difusas.)]

Passo 5

Observação prática e forma alternativa útil (forma do fluxo espectral líquido):
  • A taxa espectral líquida por unidade de área de A para B (positivo A→B) é simplesmente a diferença de radiosidades:
\dot{q}_{\lambda} = J_{\lambda,A}-J_{\lambda,B}.
  • Com as soluções acima (e usando \rho_{\lambda,i}=1-\epsilon_{\lambda,i} e a identidade 1-\rho_{\lambda,A}\rho_{\lambda,B}=\epsilon_{\lambda,A}+\epsilon_{\lambda,B}-\epsilon_{\lambda,A}\epsilon_{\lambda,B}) obtém‑se a forma clássica:
\boxed{% \dot{q}_{\lambda}=\dfrac{\epsilon_{\lambda,A}\,\epsilon_{\lambda,B}}{\epsilon_{\lambda,A}+\epsilon_{\lambda,B}-\epsilon_{\lambda,A}\epsilon_{\lambda,B}}\bigl(E_{\lambda,A}-E_{\lambda,B}\bigr) =\dfrac{E_{\lambda,A}-E_{\lambda,B}}{\dfrac{1}{\epsilon_{\lambda,A}}+\dfrac{1}{\epsilon_{\lambda,B}}-1}.}
  • Para obter a taxa total, integra‑se sobre todo o espectro:
\boxed{% \dot{q}=\int_0^{\infty}\dfrac{E_{\lambda,A}-E_{\lambda,B}}{\dfrac{1}{\epsilon_{\lambda,A}}+\dfrac{1}{\epsilon_{\lambda,B}}-1}\,d\lambda.}
Isto é a expressão geral da taxa líquida entre superfícies espectrais difusas opacas.

Passo 6

Resposta c) Usando os dados \alpha_{\lambda}=0,8 para 0\le\lambda\le\lambda_m e \alpha_{\lambda}=0,1 para \lambda>\lambda_m, para superfícies difusas e opacas:
  • Como \tau_{\lambda}=0 (opacas),
\rho_{\lambda}=1-\alpha_{\lambda}.
  • Pela lei de Kirchhoff espectral (para cada \lambda) em superfícies difusas:
\epsilon_{\lambda}=\alpha_{\lambda}.
Logo, para cada \lambda:
\boxed{% \begin{array}{l} \text{se }0\le\lambda\le\lambda_m:\quad \alpha_{\lambda}=0,8,\\ \rho_{\lambda}=0,2,\\ \tau_{\lambda}=0,\\ \epsilon_{\lambda}=0,8,\\[3pt] \text{se }\lambda>\lambda_m:\quad \alpha_{\lambda}=0,1,\\ \rho_{\lambda}=0,9,\\ \tau_{\lambda}=0,\\ \epsilon_{\lambda}=0,1. \end{array}}
  • São essas superfícies cinzentas? Não. Definição de superfície “cinzenta”: propriedade espectral (em particular \epsilon_{\lambda}) independe de \lambda. Aqui \epsilon_{\lambda} assume dois valores distintos em faixas de \lambda; portanto não são cinzentas.]

Passo 7

Resposta d) Propriedades totais hemisféricas (expressas por frações de radiação em bandas):
  • Definir a fração da radiação incidente (ou emissão) que cai na banda 0\le\lambda\le\lambda_m. Como o enunciado pede “em termos de fração de radiação (emissão em banda)”, introduzimos duas frações (podem ser diferentes para as duas superfícies, pois dependem de suas temperaturas):
    • Para a radiação emitida pela superfície i (i = A ou B), defina
    f_{i}\equiv\dfrac{\int_{0}^{\lambda_m}E_{\lambda,i}\,d\lambda}{\int_{0}^{\infty}E_{\lambda,i}\,d\lambda}(fração da emissão total de i contida em 0\le\lambda\le\lambda_m). Então 1-f_i é a fração em \lambda>\lambda_m.
  • Total absorptividade hemisférica da superfície i para a radiação com espectro do emissor em questão (ou, em linguagem simples, “absortividade total em função da fração f da radiação na banda”):
\boxed{% \alpha_{i,\text{tot}}=0,8\,f_{\text{inc}}+0,1\,(1-f_{\text{inc}})=0,1+0,7\,f_{\text{inc}},}
onde f_{\text{inc}} é a fração da radiação incidente (vinda da outra superfície) na banda 0\le\lambda\le\lambda_m. Se a irradiância incidente for exatamente a emissão da superfície j, então f_{\text{inc}}=f_j.
  • Pela igualdade espectral \epsilon_{\lambda}=\alpha_{\lambda}, a emissividade total hemisférica da superfície i (pesada pela sua própria emissão espectral) é:
\boxed{% \epsilon_{i,\text{tot}}=0,8\,f_{i}+0,1\,(1-f_{i})=0,1+0,7\,f_{i},}
onde agora f_i é a fração da emissão de i em 0\le\lambda\le\lambda_m (peso para emissividade total).
  • Refletividade total hemisférica (para o mesmo espectro de incidência) é
\boxed{% \rho_{i,\text{tot}}=1-\alpha_{i,\text{tot}}=0,9-0,7\,f_{\text{inc}}.}
  • Transmissividade total hemisférica:
\boxed{\tau_{i,\text{tot}}=0.}
Observação: as expressões acima deixam explícito que as quantidades totais dependem do espectro do campo incidente (via f_{\text{inc}}) e do espectro de emissão do próprio corpo (via f_{i} no caso de emissividade total).

Passo 8

Interpretação prática de d) (como calcular f_i na prova):
  • Se as superfícies se comportarem como emissores do tipo E_{\lambda,i}=\epsilon_{\lambda,i}E_{\lambda,b}(T_i), então f_i pode ser calculado a partir da função de Planck (pesando por \epsilon_{\lambda,i} quando necessário). Em muitos exercícios práticos, usa‑se aproximação: se \lambda_m corta uma fração conhecida da lei de Stefan‑Boltzmann (ou tabelas), usa‑se esse valor para f_i.
  • Fórmula explícita para \epsilon_{i,\text{tot}} em termos das integrais:
\epsilon_{i,\text{tot}}=\dfrac{\int_0^{\infty}\epsilon_{\lambda,i}E_{\lambda,b}(T_i)\,d\lambda}{\int_0^{\infty}E_{\lambda,b}(T_i)\,d\lambda} =\int_0^{\infty}\epsilon_{\lambda,i}\,\phi_{\lambda}(T_i)\,d\lambda,
onde \phi_{\lambda}(T_i)=E_{\lambda,b}(T_i)/\int_0^{\infty}E_{\lambda,b}(T_i)\,d\lambda é a densidade fracionária espectral (isto é, f_i é uma instância desta relação com \epsilon_{\lambda}=1 no numerador quando apropriado).

Passo 9

Resposta e) Taxa líquida de transferência de calor entre as superfícies (expressão final e caso especial gray):
  • Expressão espectral geral (já apresentada, mas agora explicitamente como resposta do item e):
\boxed{% \dot{q}=\int_0^{\infty}\dfrac{E_{\lambda,A}-E_{\lambda,B}}{\dfrac{1}{\epsilon_{\lambda,A}}+\dfrac{1}{\epsilon_{\lambda,B}}-1}\,d\lambda.}
Isto dá a taxa líquida de calor por unidade de área (positiva A→B), integrando sobre todas as \lambda.
  • Se as superfícies forem aproximadas como difusas‑cinzentas (ou seja, \epsilon_{\lambda,i}=\epsilon_i independentemente de \lambda), então a expressão simplifica para a forma clássica:
\boxed{% \dot{q}=\dfrac{\epsilon_A\epsilon_B}{\epsilon_A+\epsilon_B-\epsilon_A\epsilon_B}\,\bigl(E_{b}(T_A)-E_{b}(T_B)\bigr) =\dfrac{E_{b}(T_A)-E_{b}(T_B)}{\dfrac{1}{\epsilon_A}+\dfrac{1}{\epsilon_B}-1},}
onde E_{b}(T)=\int_0^\infty E_{\lambda,b}(T)\,d\lambda=\sigma T^4 (lei de Stefan–Boltzmann, por unidade de área hemisférica para emissão total de corpo negro). Assim, em notação habitual:
\dot{q}=\dfrac{\sigma\,(T_A^4-T_B^4)}{\dfrac{1}{\epsilon_A}+\dfrac{1}{\epsilon_B}-1}.
  • No caso espectral fornecido no item c, a forma geral (integração com a expressão dependente de \epsilon_{\lambda}) deve ser usada; em termos das duas faixas:
\dot{q}=\int_0^{\lambda_m}\dfrac{E_{\lambda,A}-E_{\lambda,B}}{\dfrac{1}{0,8}+\dfrac{1}{0,8}-1}\,d\lambda +\int_{\lambda_m}^{\infty}\dfrac{E_{\lambda,A}-E_{\lambda,B}}{\dfrac{1}{0,1}+\dfrac{1}{0,1}-1}\,d\lambda,
se ambas as superfícies tiverem exatamente os mesmos \epsilon_{\lambda} por faixa (como no caso dado). Simplificar as frações quando conveniente:
\text{para }\epsilon=0{,}8:\quad \dfrac{1}{\epsilon}+\dfrac{1}{\epsilon}-1=\dfrac{2}{0,8}-1=\dfrac{2,5-1}{1}=\!1{,}5,
\text{para }\epsilon=0{,}1:\quad \dfrac{1}{0,1}+\dfrac{1}{0,1}-1=10+10-1=19.
Logo a expressão prática é
\boxed{% \dot{q}=\int_0^{\lambda_m}\dfrac{E_{\lambda,A}-E_{\lambda,B}}{1{,}5}\,d\lambda +\int_{\lambda_m}^{\infty}\dfrac{E_{\lambda,A}-E_{\lambda,B}}{19}\,d\lambda.}
Isto encerra a forma explícita para o caso dado (quando as duas superfícies têm exatamente os mesmos valores por faixa).

Resposta

a. F_{AB}=1,\quad F_{BA}=1
b. \displaystyle G_{\lambda,A}=\dfrac{\rho_{\lambda,B}E_{\lambda,A}+E_{\lambda,B}}{1-\rho_{\lambda,A}\rho_{\lambda,B}},\qquad G_{\lambda,B}=\dfrac{E_{\lambda,A}+\rho_{\lambda,A}E_{\lambda,B}}{1-\rho_{\lambda,A}\rho_{\lambda,B}}
c. Para 0\le\lambda\le\lambda_m: \alpha_{\lambda}=0{,}8,\\ \rho_{\lambda}=0{,}2,\\ \tau_{\lambda}=0,\\ \epsilon_{\lambda}=0{,}8.
Para \lambda>\lambda_m: \alpha_{\lambda}=0{,}1,\\ \rho_{\lambda}=0{,}9,\\ \tau_{\lambda}=0,\\ \epsilon_{\lambda}=0{,}1.
Não são superfícies cinzentas.
d. Em termos da fração f_{\text{inc}} da radiação incidente (na banda 0\le\lambda\le\lambda_m) e da fração f_i da emissão de i nessa banda:
\displaystyle \alpha_{i,\text{tot}}=0{,}1+0{,}7\,f_{\text{inc}},\quad \rho_{i,\text{tot}}=0{,}9-0{,}7\,f_{\text{inc}},\quad \tau_{i,\text{tot}}=0,\quad \epsilon_{i,\text{tot}}=0{,}1+0{,}7\,f_i.
e. Taxa líquida geral (espectral e integrada):
\displaystyle \dot{q}=\int_0^{\infty}\dfrac{E_{\lambda,A}-E_{\lambda,B}}{\dfrac{1}{\epsilon_{\lambda,A}}+\dfrac{1}{\epsilon_{\lambda,B}}-1}\,d\lambda.
Para o caso do item c (mesmos níveis por faixa) isso dá
\displaystyle \dot{q}=\int_0^{\lambda_m}\dfrac{E_{\lambda,A}-E_{\lambda,B}}{1{,}5}\,d\lambda+\int_{\lambda_m}^{\infty}\dfrac{E_{\lambda,A}-E_{\lambda,B}}{19}\,d\lambda.

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