Distribuição de velocidades de Maxwell. Obtenha, a partir da expressão anterior, a fração de partículas com módulo de velocidade entre
e
, conhecida como distribuição de velocidades de Maxwell.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar a fração de partículas que têm velocidade entre
e
a partir da distribuição de velocidades tridimensional (aquela do Maxwell–Boltzmann em
). O assunto é cinética dos gases, mais especificamente distribuição de velocidades. Vamos precisar saber da forma da função de densidade em componentes cartesianas e transformar pra coordenadas esféricas no espaço de velocidades.
Passo 2
A gente parte da densidade de probabilidade em
, que é
Isso diz a probabilidade de encontrar uma partícula com componentes de velocidade entre
e
, etc.
Passo 3
Como não nos importam as direções separadas, só o módulo
, a gente troca para coordenadas esféricas no “espaço de velocidades”. As variáveis viram
e o elemento de volume é
Passo 4
Para obter a fração de partículas com módulo entre
e
, a gente integra sobre os ângulos
e
, ou seja:
Como
depende só de
, a integral angular dá fator
. Logo
Passo 5
Pronto, esse
é a distribuição de velocidades de Maxwell: a probabilidade (ou fração de partículas) com velocidade entre
e
.