Distribuição de velocidades de Maxwell. Obtenha, a partir da expressão anterior, a fração de partículas com módulo de velocidade entre v e v+d v, conhecida como distribuição de velocidades de Maxwell.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar a fração de partículas que têm velocidade entre e a partir da distribuição de velocidades tridimensional (aquela do Maxwell–Boltzmann em ). O assunto é cinética dos gases, mais especificamente distribuição de velocidades. Vamos precisar saber da forma da função de densidade em componentes cartesianas e transformar pra coordenadas esféricas no espaço de velocidades.

Passo 2

A gente parte da densidade de probabilidade em f(vx,vy,vz) ;=;(m2pi kB T)^3/2exp!l(-m(vx^2+vy^2+vz^2)2kB Tr) , que é
Isso diz a probabilidade de encontrar uma partícula com componentes de velocidade entre e , etc.

Passo 3

Como não nos importam as direções separadas, só o módulo dvx,dvy,dvz = v^2 sintheta,dv,dtheta,dphi , a gente troca para coordenadas esféricas no “espaço de velocidades”. As variáveis viram e o elemento de volume é

Passo 4

Para obter a fração de partículas com módulo entre f(v),dv = integral0^2pi!!integral0^pi f(vx,vy,vz);v^2sintheta,dtheta,dphi;dv e f(v),dv = 4pi,(m2pi kB T)^3/2 e^-m v^22kB T,v^2,dv , a gente integra sobre os ângulos e , ou seja:
Como depende só de , a integral angular dá fator . Logo

Passo 5

Pronto, esse é a distribuição de velocidades de Maxwell: a probabilidade (ou fração de partículas) com velocidade entre e .

Resposta

boxedf(v),dv ;=; 4pi(m2pi kB T)^3/2 v^2exp!l(-m v^22kB Tr),dv

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