3.1.1 Uma distribuição volumétrica de carga rhov=2 z C / m^3 está contida em uma região definida em coordenadas cilíndricas por 0 <= z <= 2 m, 0 <= r <= 1 m, 45^circ <= phi <= 90^circ. Determine a carga total contida na região.

Passo 1

O enunciado dá uma densidade volumétrica de carga rhov=2z (em C/m^3) sobre a região em coordenadas cilíndricas
0 <= z <= 2, 0 <= r <= 1, 45^circ <= phi <= 90^circ
Para achar a carga total usamos um integral triplo em coordenadas cilíndricas, lembrando que o elemento de volume é dV=r,dr,dphi,dz.

Passo 2

Escrevemos a integral para a carga total Q:
Q=integralphi=45^circ^90^circintegralr=0^1integralz=0^2rhov,dV =integralphi=pi/4^pi/2integralr=0^1integralz=0^22z,(r,dz,dr,dphi)

Passo 3

Integramos em z primeiro:
integralz=0^22z,(r,dz) =2rintegral0^2z,dz =2r[z^22]0^2 =2rcdot42 =4r
Assim a integral fica
Q=integralphi=pi/4^pi/2integralr=0^14r,dr,dphi

Passo 4

Agora integramos em r:
integralr=0^14r,dr =4[r^22]0^1 =4cdot12 =2
Logo
Q=integralphi=pi/4^pi/22,dphi

Passo 5

Finalmente integramos em phi:
Q=2[phi]pi/4^pi/2 =2l(tfracpi2-tfracpi4r) =2cdottfracpi4 =pi2

Resposta

A carga total na região vale
Q=pi2 C

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