Uma máquina produziu uma grande quantidade de parafusos dos quais 19 foram defeituosos. Determine a probabilidade de que não haja parafusos defeituosos em uma caixa de 200 parafusos escolhida de toda a produção.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma produção “muito grande” de parafusos e, dentro dela, exatamente 19 são defeituosos. Vamos escolher aleatoriamente uma caixa com 200 parafusos dessa produção e queremos saber a probabilidade de não vir nenhum defeituoso nessa caixa.
Conteúdo: Probabilidade sem reposição (modelo hipergeométrico), combinatória (coeficiente binomial) e possibilidade de aproximação por binomial/Poisson se a produção for “muito grande”.
Conteúdo: Probabilidade sem reposição (modelo hipergeométrico), combinatória (coeficiente binomial) e possibilidade de aproximação por binomial/Poisson se a produção for “muito grande”.
Passo 2
Modelo exato (hipergeométrico):
– População total: parafusos (grande, mas finita).
– Número de “sucessos” na população (parafusos bons): .
– Número de “fracassos” (defeituosos): 19.
– Tamanho da amostra: .
– População total:
– Número de “sucessos” na população (parafusos bons):
– Número de “fracassos” (defeituosos): 19.
– Tamanho da amostra:
No modelo hipergeométrico, a probabilidade de tirar exatamente
defeituosos é
Como queremos
defeituosos, basta pôr
:
Passo 3
Interpretação e aproximações:
- Se
for muito maior que 200, a retirada sem reposição fica quase igual à retirada com reposição (probabilidade de defeito praticamente constante). - Definindo
como a proporção de defeituosos na população, em cada retirada “independente” teríamos um defeituoso com probabilidade . Então, por modelo binomial aproximado,
- Se
for bem pequeno (19 muito menor que ), podemos ainda usar a aproximação de Poisson com parâmetro
.
Fica
Resposta
A probabilidade exata (hipergeométrica) de não vir nenhum parafuso defeituoso na caixa de 200 é
Se
é tão grande que se pode aproximar por binomial, fica
e, se
for muito pequeno, ainda