Uma máquina produziu uma grande quantidade de parafusos dos quais 19 foram defeituosos. Determine a probabilidade de que não haja parafusos defeituosos em uma caixa de 200 parafusos escolhida de toda a produção.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma produção “muito grande” de parafusos e, dentro dela, exatamente 19 são defeituosos. Vamos escolher aleatoriamente uma caixa com 200 parafusos dessa produção e queremos saber a probabilidade de não vir nenhum defeituoso nessa caixa.
Conteúdo: Probabilidade sem reposição (modelo hipergeométrico), combinatória (coeficiente binomial) e possibilidade de aproximação por binomial/Poisson se a produção for “muito grande”.

Passo 2

Modelo exato (hipergeométrico):
– População total: P(X = k) ;=; binom19k,binomN-19,200-k,binomN200 parafusos (grande, mas finita).
– Número de “sucessos” na população (parafusos bons): P(X=0) ;=; binom190,binomN-19200binomN200 ;=; binomN-19200binomN200 .
– Número de “fracassos” (defeituosos): 19.
– Tamanho da amostra: .
No modelo hipergeométrico, a probabilidade de tirar exatamente defeituosos é
Como queremos defeituosos, basta pôr :

Passo 3

Interpretação e aproximações:
  1. Se P(0 defeituosos) approx (1 - p)^200 = l(1 - tfrac19Nr)^200 for muito maior que 200, a retirada sem reposição fica quase igual à retirada com reposição (probabilidade de defeito praticamente constante).
  2. Definindo P(X=0)approx e^-lambda ;=; exp!l(-200,tfrac19Nr) como a proporção de defeituosos na população, em cada retirada “independente” teríamos um defeituoso com probabilidade . Então, por modelo binomial aproximado,
  1. Se for bem pequeno (19 muito menor que ), podemos ainda usar a aproximação de Poisson com parâmetro
    .
    Fica

Resposta

A probabilidade exata (hipergeométrica) de não vir nenhum parafuso defeituoso na caixa de 200 é
boxedP = binomN-19200binomN200
Se P approx l(1 - tfrac19Nr)^200, é tão grande que se pode aproximar por binomial, fica
P approx exp!l(-200,tfrac19Nr)
e, se for muito pequeno, ainda

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