BONUS (Ip): Um resistor de
e um capactor de
inicialmente descarregado estão ligados em série a uma fonte com força eletromotriz
. Para o instante
depois de feita a ligação, determine: (a) a corrente que passa pelo circuito nesse instante;
(b) é possivel fornecer ao capacitor
de carga nesse circuito? Se sim, determine o tempo necessário para tanto. Se não, explique por quê
(b) é possivel fornecer ao capacitor
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para um circuito série de resistor e capacitor ligados a uma fonte de fem
:
(a) a corrente que passa pelo circuito no instante após a ligação;
(b) verificar se é possível fornecer ao capacitor carga de e, se sim, determinar o tempo necessário; se não, explicar por quê.
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
(a) a corrente que passa pelo circuito no instante
(b) verificar se é possível fornecer ao capacitor carga de
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
e o capacitor está inicialmente descarregado (ou seja,
).
Não vou resolver nada ainda — só identifiquei o que o problema pede e os dados.
Não vou resolver nada ainda — só identifiquei o que o problema pede e os dados.
Passo 2
Conceito físico e equação básica (explicação passo a passo). Quando ligamos um resistor
e um capacitor
em série a uma fonte de tensão
, a carga
no capacitor e a corrente
obedecem à segunda lei de Kirchhoff no laço:
Aqui
é a queda de tensão no resistor e
é a tensão no capacitor. Além disso, a corrente é a taxa de variação da carga:
Substituindo essas relações na lei de Kirchhoff obtemos a equação diferencial que descreve o carregamento:
Vou resolver essa equação e mostrar cada passo para você poder repetir na prova.
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial (passo a passo, sem pular etapas). A equação
é linear de primeira ordem. A solução geral é soma da solução particular e da homogênea. A solução particular (constante) é
porque substituindo temos
. A solução homogênea satisfaz
que separando variáveis dá
Integrando:
onde
é constante determinada pela condição inicial. Como
, temos
Logo a solução completa é
A corrente é a derivada:
Explicando as variáveis:
-
é a carga no capacitor em coulombs em função do tempo . -
é a corrente em ampères. -
é a tensão da fonte em volts. -
é a resistência em ohms e a capacitância em farads.
Definimos também a constante de tempo
que tem dimensão de tempo e indica a escala temporal do carregamento: após um tempo
a carga atinge cerca de
de
.
Passo 4
Converter os dados para unidades do SI e calcular a constante de tempo
. Dados:
A constante de tempo é
Interpretação: o circuito demora uma escala de
para carregar significantemente; em tempos muito menores que
o capacitor ainda está pouco carregado.
Passo 5
Calcular a corrente inicial
(para entender a escala) e a corrente em
. A corrente geral é
A corrente inicial é
Agora em
(e lembrando
):
Calcule o expoente:
. Então
Arredondando de acordo com os dados (duas casas significativas), dá
Comentário prático: a corrente diminui exponencialmente; já em
(que é
) a corrente caiu para cerca de
da inicial.
Passo 6
Responder (b): verificar se é possível fornecer
ao capacitor. A carga máxima que o capacitor pode atingir (quando t→∞, estado estacionário) é
Calcule:
Comparando,
. Portanto NÃO é possível fornecer
ao capacitor nesse circuito. Explicação física curta e importante: a tensão máxima no capacitor, no equilíbrio, é igual à tensão da fonte
. Logo a carga máxima é
. A única maneira de ter
seria aumentar
ou aumentar
. Observação adicional: mesmo para atingir exatamente
levaríamos tempo infinito teoricamente — na prática aproximamo-nos assintoticamente de
.
Resposta
(a)
(b) Não — não é possível fornecer , porque a carga máxima é
.
(b) Não — não é possível fornecer