BONUS (Ip): Um resistor de 5,0 \mathrm{M} \Omega e um capactor de 1,0 \mu \mathrm{~F} inicialmente descarregado estão ligados em série a uma fonte com força eletromotriz 4,0 \mathrm{~V}. Para o instante 1,0 \mathrm{~s} depois de feita a ligação, determine: (a) a corrente que passa pelo circuito nesse instante;
(b) é possivel fornecer ao capacitor 4,5 \mu \mathrm{C} de carga nesse circuito? Se sim, determine o tempo necessário para tanto. Se não, explique por quê

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para um circuito série de resistor e capacitor ligados a uma fonte de fem 4,0\\ \mathrm{V}:
(a) a corrente que passa pelo circuito no instante 1,0\\ \mathrm{s} após a ligação;
(b) verificar se é possível fornecer ao capacitor carga de 4,5\\ \mu\mathrm{C} e, se sim, determinar o tempo necessário; se não, explicar por quê.
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
R=5{,}0\\ \mathrm{M\Omega},\qquad C=1{,}0\\ \mu\mathrm{F},\qquad \varepsilon=4{,}0\\ \mathrm{V},
e o capacitor está inicialmente descarregado (ou seja, q(0)=0).
Não vou resolver nada ainda — só identifiquei o que o problema pede e os dados.

Passo 2

Conceito físico e equação básica (explicação passo a passo). Quando ligamos um resistor R e um capacitor C em série a uma fonte de tensão \varepsilon, a carga q(t) no capacitor e a corrente i(t) obedecem à segunda lei de Kirchhoff no laço:
\varepsilon - v_R(t) - v_C(t)=0.
Aqui v_R(t)=i(t)R é a queda de tensão no resistor e v_C(t)=\dfrac{q(t)}{C} é a tensão no capacitor. Além disso, a corrente é a taxa de variação da carga:
i(t)=\frac{dq}{dt}.
Substituindo essas relações na lei de Kirchhoff obtemos a equação diferencial que descreve o carregamento:
R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=\varepsilon.
Vou resolver essa equação e mostrar cada passo para você poder repetir na prova.

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial (passo a passo, sem pular etapas). A equação
R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=\varepsilon
é linear de primeira ordem. A solução geral é soma da solução particular e da homogênea. A solução particular (constante) é q_p=C\varepsilon porque substituindo temos \frac{q_p}{C}=\varepsilon. A solução homogênea satisfaz
R\frac{dq_h}{dt}+\frac{q_h}{C}=0,
que separando variáveis dá
\frac{dq_h}{q_h}=-\frac{dt}{RC}.
Integrando:
\ln|q_h|=-\frac{t}{RC}+K \quad\Rightarrow\quad q_h=Ae^{-t/(RC)},
onde A é constante determinada pela condição inicial. Como q(0)=0, temos
q(0)=q_p+q_h(0)=C\varepsilon+A=0 \quad\Rightarrow\quad A=-C\varepsilon.
Logo a solução completa é
q(t)=C\varepsilon\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr).
A corrente é a derivada:
i(t)=\frac{dq}{dt}=C\varepsilon\cdot\frac{1}{RC}e^{-t/(RC)}=\frac{\varepsilon}{R}e^{-t/(RC)}.
Explicando as variáveis:
  • q(t) é a carga no capacitor em coulombs em função do tempo t.
  • i(t) é a corrente em ampères.
  • \varepsilon é a tensão da fonte em volts.
  • R é a resistência em ohms e C a capacitância em farads.
    Definimos também a constante de tempo
\tau=RC,
que tem dimensão de tempo e indica a escala temporal do carregamento: após um tempo \tau a carga atinge cerca de 63{,}2\% de C\varepsilon.

Passo 4

Converter os dados para unidades do SI e calcular a constante de tempo \tau. Dados:
R=5{,}0\\ \mathrm{M\Omega}=5{,}0\times10^{6}\\ \Omega,
C=1{,}0\\ \mu\mathrm{F}=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{F},
\varepsilon=4{,}0\\ \mathrm{V}.
A constante de tempo é
\tau=RC=(5{,}0\times10^{6})\cdot(1{,}0\times10^{-6})=5{,}0\\ \mathrm{s}.
Interpretação: o circuito demora uma escala de 5{,}0\\ \mathrm{s} para carregar significantemente; em tempos muito menores que 5\\ \mathrm{s} o capacitor ainda está pouco carregado.

Passo 5

Calcular a corrente inicial i(0) (para entender a escala) e a corrente em t=1{,}0\\ \mathrm{s}. A corrente geral é
i(t)=\frac{\varepsilon}{R}e^{-t/\tau}.
A corrente inicial é
i(0)=\frac{\varepsilon}{R}=\frac{4{,}0}{5{,}0\times10^{6}}=8{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{A}=0{,}80\\ \mu\mathrm{A}.
Agora em t=1{,}0\\ \mathrm{s} (e lembrando \tau=5{,}0\\ \mathrm{s}):
i(1{,}0)=8{,}0\times10^{-7}\,e^{-1{,}0/5{,}0}.
Calcule o expoente: e^{-1{,}0/5{,}0}=e^{-0{,}2}\approx0{,}81873. Então
i(1{,}0)\approx8{,}0\times10^{-7}\cdot0{,}81873\approx6{,}55\times10^{-7}\\ \mathrm{A}.
Arredondando de acordo com os dados (duas casas significativas), dá
i(1{,}0)\approx6{,}6\times10^{-7}\\ \mathrm{A}=0{,}66\\ \mu\mathrm{A}.
Comentário prático: a corrente diminui exponencialmente; já em 1{,}0\\ \mathrm{s} (que é 0{,}2\tau) a corrente caiu para cerca de 82\% da inicial.

Passo 6

Responder (b): verificar se é possível fornecer 4{,}5\\ \mu\mathrm{C} ao capacitor. A carga máxima que o capacitor pode atingir (quando t→∞, estado estacionário) é
Q_{\max}=C\varepsilon.
Calcule:
Q_{\max}=(1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{F})\cdot(4{,}0\\ \mathrm{V})=4{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=4{,}0\\ \mu\mathrm{C}.
Comparando, 4{,}0\\ \mu\mathrm{C}<4{,}5\\ \mu\mathrm{C}. Portanto NÃO é possível fornecer 4{,}5\\ \mu\mathrm{C} ao capacitor nesse circuito. Explicação física curta e importante: a tensão máxima no capacitor, no equilíbrio, é igual à tensão da fonte \varepsilon. Logo a carga máxima é C\varepsilon. A única maneira de ter 4{,}5\\ \mu\mathrm{C} seria aumentar C ou aumentar \varepsilon. Observação adicional: mesmo para atingir exatamente Q_{\max}=4{,}0\\ \mu\mathrm{C} levaríamos tempo infinito teoricamente — na prática aproximamo-nos assintoticamente de Q_{\max}.

Resposta

(a) i(1{,}0\\ \mathrm{s})\approx6{,}6\times10^{-7}\\ \mathrm{A}=0{,}66\\ \mu\mathrm{A}.
(b) Não — não é possível fornecer 4{,}5\\ \mu\mathrm{C}, porque a carga máxima é Q_{\max}=C\varepsilon=4{,}0\\ \mu\mathrm{C}<4{,}5\\ \mu\mathrm{C}.

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