Divergente e rotacional. Calcule explicitamente o divergente e o rotacional dos seguintes campos vetoriais (a)
e (b)
. (b) Calcule explicitamente o divergente e o rotacional dos seguintes campos vetoriais (b)
.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente calcular o divergente (∇·J) e o rotacional (∇×J) de dois campos vetoriais em 2D:
(a)
(b)
Aqui o conteúdo é cálculo vetorial: definimos
r² = x² + y²,
divergente ,
rotacional em 2D (componente z) .
(a)
(b)
Aqui o conteúdo é cálculo vetorial: definimos
r² = x² + y²,
divergente
rotacional em 2D (componente z)
Passo 2
Primeiro vamos lembrar rapidinho as regras de derivada que usamos aqui:
- Se
, então
,
mas como, dá direto
Mesma ideia pro resto. Agora é só aplicar nas componentes.
Passo 3
Campo (a):
Divergente:
Somando:
Divergente:
Somando:
Passo 4
Ainda no (a), rotacional (componente z):
Mas
Logo
Mas
Logo
Passo 5
Campo (b):
Divergente:
Somando dá
. Mas usando
a conta cancela e dá 0.
Divergente:
Somando dá
Passo 6
Agora o rotacional do (b):
Subtraindo, novamente tudo se cancela e o resultado é 0.
Subtraindo, novamente tudo se cancela e o resultado é 0.
Resposta
Para os dois campos (a) e (b), tanto o divergente quanto o rotacional valem zero (para
).