Divergente e rotacional. Calcule explicitamente o divergente e o rotacional dos seguintes campos vetoriais (a) J=a(x i+y j) / r^2 e (b) J=a(y i-x j) / r^2. (b) Calcule explicitamente o divergente e o rotacional dos seguintes campos vetoriais (b) J=a(y i-x j) / r^2.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente calcular o divergente (∇·J) e o rotacional (∇×J) de dois campos vetoriais em 2D:
(a)
(b)
Aqui o conteúdo é cálculo vetorial: definimos
r² = x² + y²,
divergente ,
rotacional em 2D (componente z) .

Passo 2

Primeiro vamos lembrar rapidinho as regras de derivada que usamos aqui:
  1. Se , então
    ,
    mas como , dá direto

    Mesma ideia pro resto. Agora é só aplicar nas componentes.

Passo 3

Campo (a):

Divergente:

Somando:

Passo 4

Ainda no (a), rotacional (componente z):

Mas

Logo

Passo 5

Campo (b):

Divergente:

Somando dá
. Mas usando a conta cancela e dá 0.

Passo 6

Agora o rotacional do (b):


Subtraindo, novamente tudo se cancela e o resultado é 0.

Resposta

Para os dois campos (a) e (b), tanto o divergente quanto o rotacional valem zero (para ).

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