Teorema de Liouville. Na formulação Hamiltoniana da Mecânica Clássica, as equações de movimento são obtidas da função Hamiltoniana, H(q, p ; lambda), que, em geral, é a energia mecânica do problema em termos do momento canônico p (que pode ser um momento linear ou angular), da coordenada q e de um parâmetro lambda que pode depender do tempo. Por exemplo, no caso de um oscilador harmônico simples temos H(q, p ; lambda)=p^2 / 2 m+lambda q^2 / 2. As equações de movimento que fornecem a trajetória da partícula são chamadas de equações de Hamilton,
d qd t=dotq=partial Hpartial p, d pd t=dotp=-partial Hpartial q
O ponto (q, p) fornece então o que chamamos de estado mecânico e pode ser representado em um sistema de coordenadas chamado de espaço de fase. Dado um conjunto de condições iniciais ( q0, p0 ), a evolução temporal fornecida pelas equações anteriores gera um conjunto de trajetórias no espaço de fase. O movimento dessas trajetórias nesse espaço pode ser pensado então como o movimento de um fluido cujo campo de velocidades é definido por v=(dotq, dotp). (b) Analogamente, pensando em rho(q, p, t) como a densidade de pontos no espaço de fase, como rho e v estariam relacionados? Explique.

Passo 1

O exercício diz o seguinte: na mecânica Hamiltoniana temos as equações de movimento
dot q = partial Hpartial p, dot p = -partial Hpartial q,
e podemos imaginar que os pontos “flutuam” no espaço de fase com velocidade . Agora, se for a densidade desses pontos (tipo quantos “povinhos” existem por unidade de área no espaço de fase), como e ficam relacionados?
Conteúdo: Teorema de Liouville / equação de continuidade em espaço de fase. Vamos precisar entender a conservação de número de pontos e usar a ideia de fluxo de um fluido.

Passo 2

Pensa assim: num problema de fluidos clássicos, se partial rhopartial t + nabla!xcdot(rho, u) = 0 é a densidade e a velocidade, a conservação de massa dá a equação de continuidade
No nosso caso “o fluido” vive no plano . Então trocamos por e por .

Passo 3

Escrevendo em coordenadas:
nabla(q,p)!cdot(rho, v) = partialpartial ql(rho,dot qr) + partialpartial pl(rho,dot pr)
Logo a equação de continuidade em espaço de fase fica
boxed partial rhopartial t + partialpartial ql(rho,dot qr) + partialpartial pl(rho,dot pr) =0
Isto é exatamente a relação que liga e .

Resposta

A densidade boxed partial rhopartial t + partialpartial q(rho,dot q) + partialpartial p(rho,dot p) =0 e o campo de velocidades satisfazem a equação de continuidade em espaço de fase:
Esse é o enunciado do Teorema de Liouville: o “fluido” no espaço de fase é incompressível.

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