Teorema de Liouville. Na formulação Hamiltoniana da Mecânica Clássica, as equações de movimento são obtidas da função Hamiltoniana,
, que, em geral, é a energia mecânica do problema em termos do momento canônico
(que pode ser um momento linear ou angular), da coordenada
e de um parâmetro
que pode depender do tempo. Por exemplo, no caso de um oscilador harmônico simples temos
. As equações de movimento que fornecem a trajetória da partícula são chamadas de equações de Hamilton,
O ponto
fornece então o que chamamos de estado mecânico e pode ser representado em um sistema de coordenadas chamado de espaço de fase. Dado um conjunto de condições iniciais (
), a evolução temporal fornecida pelas equações anteriores gera um conjunto de trajetórias no espaço de fase. O movimento dessas trajetórias nesse espaço pode ser pensado então como o movimento de um fluido cujo campo de velocidades é definido por
. (b) Analogamente, pensando em
como a densidade de pontos no espaço de fase, como
e
estariam relacionados? Explique.
Passo 1
O exercício diz o seguinte: na mecânica Hamiltoniana temos as equações de movimento
e podemos imaginar que os pontos
“flutuam” no espaço de fase com velocidade
. Agora, se
for a densidade desses pontos (tipo quantos “povinhos” existem por unidade de área no espaço de fase), como
e
ficam relacionados?
Conteúdo: Teorema de Liouville / equação de continuidade em espaço de fase. Vamos precisar entender a conservação de número de pontos e usar a ideia de fluxo de um fluido.
Conteúdo: Teorema de Liouville / equação de continuidade em espaço de fase. Vamos precisar entender a conservação de número de pontos e usar a ideia de fluxo de um fluido.
Passo 2
Pensa assim: num problema de fluidos clássicos, se
é a densidade e
a velocidade, a conservação de massa dá a equação de continuidade
No nosso caso “o fluido” vive no plano
. Então trocamos
por
e
por
.
Passo 3
Escrevendo em coordenadas:
Logo a equação de continuidade em espaço de fase fica
Isto é exatamente a relação que liga
e
.
Resposta
A densidade
e o campo de velocidades
satisfazem a equação de continuidade em espaço de fase:
Esse é o enunciado do Teorema de Liouville: o “fluido” no espaço de fase é incompressível.